2018考研数学二真题解答

本科院校目标院校目标专业姓名.....................................装.......................................订.......................................线.......................................2018年全国硕士研究生统一入学考试数学二试题整理人：中博考研向禹老师[e-mail]题号1-89-14151617181920212223总分分数一、评卷人得分选择题（每题4分,共32分）1.若limx!0(ex+ax2+bx)1x2=1，则()A.a=12,b=1B.a=12,b=1C.a=12,b=1D.a=12,b=1【解析】由条件得0=limx!0ln(ex+ax2+bx)x2=limx!0ln(1+ex1+ax2+bx)x2=limx!0ex1+ax2+bxx2=limx!0x+12x2+o(x2)+ax2+bxx2=limx!0(1+b)x+(12+a)x2+o(x2)x2因此b=1,a=12.2.下列函数不可导的是()A.f(x)=jxjsinjxjB.f(x)=jxjsin√jxjC.f(x)=cosjxjD.f(x)=cos√jxj【解析】A,B,C可导,D根据导数的定义可得f′+(0)=12,f′(0)=12.3.设函数f(x)=8:1,x01,x⩾0,g(x)=8:2ax,x⩽1x,1x0xb,x⩾0,若f(x)+g(x)在R上连续,则()A.a=3,b=1B.a=3,b=2C.a=3,b=1D.a=3,b=2【解析】即f(x)+g(x)=8:1ax,x⩽1x1,1x0xb+1,x⩾0连续,可得a=3,b=2.4.设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且∫10f(x)dx=0,则()A.当f′(x)0时,f(12)0B.当f′′(x)0时,f(12)0C.当f′(x)0时,f(12)0D.当f′′(x)0时,f(12)0【解析】考虑f(x)在x=12处的泰勒展开式:f(x)=f(12)+f′(12)(x12)+f′′()2(x12)2第1页共7页本科院校目标院校目标专业姓名.....................................装.......................................订.......................................线.......................................对函数f(x)在[0,1]上进行积分,可知当f′′(x)0时,f(12)0.5.设M=∫22(1+x)21+x2dx,N=∫221+xexdx,K=∫22(1+pcosx)dx,则()A.MNKB.MKNC.KMND.NMK【解析】利用对称性可以计算M=∫22(1+x)21+x2dx=∫22(1+2x1+x2)dx=,另外比较被积函数与1的大小关系易见K=MN.6.∫01dx∫2x2x(1xy)dy+∫10dx∫2x2x(1xy)dy=()A.53B.56C.73D.76【解析】交换积分次序利用对称性进行计算I=∫∫D(1xy)dxdy=∫∫Ddxdy=2∫10dx∫2x2xdy=2∫10(2x2x)dx=737.下列矩阵中,与矩阵0BBBB@1100110011CCCCA相似的为()A.0BBBB@1110110011CCCCAB.0BBBB@1010110011CCCCAC.0BBBB@1110100011CCCCAD.0BBBB@1010100011CCCCA【解析】易知题中矩阵均为3重特征值1.若矩阵相似,则不同特征值对应矩阵EA的秩相等,即EA秩相等.显然为A.8.设A,B为n阶矩阵,记r(X)为矩阵X的秩,(XY)表示分块矩阵,则()A.r(AAB)=r(A)B.r(ABA)=r(A)C.r(AB)=maxfr(A),r(B)gD.r(AB)=r(ATBT)【解析】对于A,有r(AAB)=r(A(EB)),且(EB)为行满秩的矩阵,则r(AAB)=r(A),即选A.B错误,反例如A=0B@10001CA,B=0B@10111CA.C错误,r(AB)⩾maxfr(A),r(B)g,反例如A=0B@10001CA,B=0B@00011CA.D错误,反例如A=0B@10001CA,B=0B@00101CA.二、评卷人得分填空题（每题4分,共24分）9.limx!+1x2[arctan(x+1)arctan(x)]=.【解析】由拉格朗日中值定理知arctan(x+1)arctan(x)=11+2,xx+1,故limx!+1x21+2=limx!+1x21+x2=1.第2页共7页本科院校目标院校目标专业姓名.....................................装.......................................订.......................................线.......................................10.曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是.【解析】y′=2x+2x,y′′=22x2,由此得函数的拐点坐标(1,1).曲线在拐点处的斜率为y′x=1=4,故切线方程为y=4x3.11.∫+151x24x+3dx=.【解析】I=∫+151(x1)(x3)dx=12∫+15(1x11x3)dx=12[ln(x1)ln(x3)]+15=12ln2:12.曲线8:x=cos3ty=sin3t在t=4对应点处的曲率为.【解析】由曲率计算公式得K=jx′′(t)y′(t)x′(t)y′′(t)j([x′(t)]2+[y′(t)]2)3/2=23.13.设函数z=x(x,y)由方程lnz+ez1=xy确定,则@z@xj(2,12)=.【解析】原方程两边对x求偏导数得1z@z@x+ez1@z@x=y,于是@z@x=y1z+ez1,当x=2,y=12时,z=1,于是@z@xj(2,12)=14.14.设A为三阶矩阵,1,2,3为线性无关的向量组.若A1=21+2+3,A2=2+23,A3=2+3,则A的实特征值为【解析】由题意得A(1,2,3)=(1,2,3)0BBBB@2001111211CCCCA.由于1,2,3线性无关,记P=(1,2,3),B=0BBBB@2001111211CCCCA,则P是可逆矩阵,因此矩阵A与矩阵B相似,它们有相同的特征值,易求得B的实特征值为2,即A的实特征值为2.三、评卷人得分解答题（共94分）15.(本题满分10分)求不定积分∫e2xarctanpex1dx.【解析】利用分部积分法∫e2xarctanpex1dx=12∫arctanpex1d(e2x)=12e2xarctanpex112∫e2x1+ex1ex2pex1dx=12e2xarctanpex114∫e2xpex1dx=12e2xarctanpex114∫expex1d(ex)其中∫expex1d(ex)=∫tpt1dt=∫t1+1pt1dt=∫pt1dt+∫dtpt1=23(t1)32+2pt1+C=23(ex1)32+2pex1+C故∫e2xarctanpex1dx=12e2xarctanpex116(ex1)3212pex1+C1.第3页共7页本科院校目标院校目标专业姓名.....................................装.......................................订.......................................线.......................................16.(本题满分10分)已知连续函数f(x)满足∫x0f(t)dt+∫x0tf(xt)dt=ax2.(a)求f(x);(b)若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值.【解析】(a)首先∫x0tf(xt)dt=∫x0(xu)f(u)du=x∫x0f(u)du∫x0uf(u)du,因此在方程∫x0f(t)dt+x∫x0f(u)du∫x0uf(u)du=ax2两边求导得f(x)+xf(x)+∫x0f(u)duxf(x)=f(x)+∫x0f(u)du=2ax可知f(0)=0.注意到等式两边是可导的,继续求导得f′(x)+f(x)=2a,等式两边乘以ex可得(exf(x))′=2aex,因此exf(x)=2aex+C.由f(0)=0知C=2a,因此f(x)=2a2aex.(b)根据条件可得∫10f(x)dx=2a∫10(1ex)dx=2ae1=1,a=e2.17.(本题满分10分)设平面区域D由曲线8:x=tsinty=1cost(0⩽t⩽2)与x轴围成,计算二重积分∫∫D(x+2y)dxdy.【解析】积分区域看成为X型区域：8:0⩽y⩽φ(x)0⩽x⩽2,化成累次积分得∫∫D(x+2y)dxdy=∫20dx∫φ(x)0(x+2y)dy=∫20(xφ(x)+2φ2(x))dx==∫20((tsint)(1cost)+(1cost)2)d(tsint)=∫20((tsint)(1cost)+(1cost)2)(1cost)dt=5+32:18.(本题满分10分)已知常数k⩾2ln21,证明：(x1)(xln2x+2klnx1)⩾0.【解析】原不等式等价于8:xln2x+2klnx1⩾0,x⩾1xln2x+2klnx1⩽0,x1.令f(x)=xln2x+2klnx1,则f′(x)=12lnxx+2kx=x2lnx+2kx.令g(x)=x2lnx+2k,则g′(x)=12x8:0,x2=0,x=20,0x2,因此g(x)在(0,2)内单减,在(2,+1)内单增,gmin(x)=第4页共7页本科院校目标院校目标专业姓名.....................................装.......................................订.......................................线.......................................g(2)⩾2ln20.这就说明f′(x)=g(x)x0,因此f(x)在(0,+1)内单增,且f(1)=0,所以8:xln2x+2klnx1⩾0,x⩾1xln2x+2klnx1⩽0,x1成立,原不等式得证.19.(本题满分10分)将长为2m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形,三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在,求出最小值.【解析】设分成的三段依次为x,y,z,则x+y+z=2,依次围成的圆的半径、正方形的边长与正三角形边长分别为x2,y4,z3,因此三个面积的和为S=(x2)2+(y4)2+p34(z3)2=x24+116y2+p336z2法一令f(x,y,z,)=x24+116y2+p336z2+(x+y+z2),求驻点.由8:f′x=x2+=0f′y=y8+=0f′z=p318z+=0x+y+z=2可得8