2023年岳阳市一模 数学 参考答案

岳阳市2023届高三教学质量检测第一次考试数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.B2.C3.C4.D5.B6.A7.A8.D二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.)9.ABD10.ACD11.BC12.BCD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.)13.653314.19815.5616.(1)，2(2)1110或四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.解：(1)因为*313loglog1(N)nnaan，所以13nnaa----------------------------------------1分所以数列{}na是首项为1公比为3的等比数列----------------------------------------------------3分所以数列{}na的通项为13nna------------------------------------------------------------------------4分(2)由(1)知数列{}na的前n项和1(13)31132nnnS------------------------------------------5分)131131(23)13)(13(3)1(2)1(111nnnnnnnnnSaab------------------------8分所以)131131(...)131131()13121(23...1211321nnnnbbbbT)1312123n（数列nb的前n项和)13(4331nnnT------------------------------------------------------------------10分注：如果只化简113(1)2(1)(31)(31)nnnnnnnabaS，并写出nT表达式给1分18.解：设Y表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.050.450.350.10.05-------------------1分(1)A表示事件“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”，则事件A对应三种情形：①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为3分钟；②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分钟；③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.05×0.35＋0.35×0.05＋0.45×0.45＝0.2375.--------------------------6分(2)X所有可能的取值为0,1,2.------------------------------------------7分X＝0对应第一个人取到食品所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y2)＝0.5；X＝1对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y1)＋P(Y＝2)＝0.05×0.95＋0.45＝0.4975；X＝2对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.05×0.05＝0.0025；-------------------10分所以X的分布列为X012P0.50.49750.0025--------------11分E(X)＝0×0.5＋1×0.4975＋2×0.0025＝0.5025.--------------------------12分19.解：(1)由余弦定理得2222cosbacacB又22baac所以(12cos)aBc--------------------------------------------------------------------------------------2分由正弦定理得sin(12cos)sinABC---------------------------------------------------------------3分又ABC所以sin(12cos)sin()sincoscossinABABABAB得sinsin()ABA----------------------------------------------------------------------------------------5分在三角形中得ABA或ABA（舍去）得2BA-----------------------------------------------------------------------------------------------------6分(2)由(1)知2BA且ABC，所以03A所以03A---------------------7分223coscoscos3coscos(2)cossin2sincos2coscos2sincos(2cos1)coscos4cos4cosCAAAAAAAAAAAAAAAAAA---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分令cos,xA3()44fxxx且112x22()4124(13)fxxx可知当1323x时()0fx所以3()44fxxx在1323x单调递增可知当313x时()0fx所以3()44fxxx在313x单调递减()fx在33x时取到极大值也是最大值，且最大值为839又131(),(0)0,()(0)222ffff，所以830()9fx故coscosCA的取值范围为83(0,]9---------------------------------------------------------------12分20.解：(1)法一：延长1,AACF交于点N，连NE交11AB于M则可知平面EFC即平面CEMF且M为11AB靠近1B的三等分点所以12AM，又12AF，45,BAC由余弦定理知22211112cos2MFAMAFAMAFBAC所以22211MFAFAM故△1AMF为直角三角形，1AFMF直三棱柱111ABCABC中，1AA平面111ABC，所以1AAMF，又1111AAACA所以MF平面11AACC，MF平面EFC所以平面EFC平面11AACC-----------6分法二：如图所示，以A为原点，1,OBOA为y轴和z轴的正方向，过A作y轴垂线为x轴建立空间直角坐标系，设12AAa，则11(0,0,0),(2,2,0),(1,1,2),(0,3,),(0,0,2),(2,2,2)ACFaEaAaCa所以(2,1,),(1,1,2),(2,2,0),CEaCFaAC1(0,0,2)AAa设平面EFC的一个法向量为111(,,)nxyz，则00nCEnCF即1111112020xyazxyaz令11x，则1(1,1,)na设平面11AACC的一个法向量为222(,,)mxyz，则100mACmAA即22122020xyaz令21x，则(1,1,0)m所以1(1,1,0)(1,1,)0mna所以mn故平面EFC平面11AACC----------------------6分(2)1(2,1,)ECa，由(1)知平面EFC的一个法向量为1(1,1,)na由直线1EC与平面EFC所成角的正弦值为23得12222|cos,|3152ECnaa得422750aa得102a或1a因为13AA，所以1a当1a时，(1,1,1)n，1(2,2,2)AC，知1//ACn，所以1AC平面EFC而1AC平面11ABC，故平面11ABC平面EFC-------------------------------------------------12分21.解：（1）法一：设00(,)Exy，过00(,)Exy且平行2l的直线方程为002()yyxx由002()2yyxxyx得交点A的横坐标为0024xy所以2000025||12|||2|44xyOAxyE点到直线1l的距离为00|2|5xy所以0000|2|5|2|445xyxy即22001416xy或22001164yx故动点E的轨迹方程为221416xy或221164yx---------------------------------------------5分法二：设(,)Exy，E点到直线1l的距离为1h，到直线2l的距离为2h，2BOA四边形OAEB（O为原点）的面积为S则12||||||||sin2SOAhOBhOAOB所以221||||SOAOBhh所以21sin2Shhtan2时，22tan4sin21tan5，1tan2时，22tan4sin21tan5又12|2||2|,55xyxyhh所以|2||2|16555xyxy得动点E的轨迹方程为221416xy或221164yx----------------------------------------------5分（2）由题知0E的方程为221416xy设0,NNy，11,Pxy，22,Qxy，当直线m的斜率为0时，0,0N若2,0P，2,0Q，因为NMMP，NMMQ，知1,13，所以23若2,0Q，2,0P，因为NMMP，NMMQ，知11,3，所以23当直线m的斜率不为0时,设直线m的方程为1xty（显然0t），则10,Nt，即1Nyt因为NMMP，NMMQ，所以111,1,Nyxy，221,1,Nyxy，解得1Nyy，2Nyuy，12121211NNyyyyyyyy.由221416xtyxy消x并整理成22418120tyty因为直线m与曲线0E有两个交点，则在2410t且判别式0时有122841tyyt且1221241yyt所以221841241123tttt即证为定值23----------------------------------------------------------