2023届湖南省永州市高三第二次适应性考试（二模）数学试题

永州市2023年高考第二次适应性考试试卷数学注意事项：1.本试卷共150分，考试时量120分钟.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.3.考试结束后，只交答题卡.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2,1,0,1,2AABAB，则集合B（）A.0,1B.0,2C.1,2D.12.已知i为虚数单位，复数z满足1i12iz，则在复平面内复数z对应的点在（）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限3.“是锐角”是“2sin14”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设D为ABC所在平面内一点，3ADAB，则（）A.32CDCACBB.32CDCACBC.23CDCACBD.23CDCACB5.若存在常数,ab，使得函数fx对定义域内的任意x值均有22fxfaxb，则fx关于点,ab对称，函数fx称为“准奇函数”.现有“准奇函数”gx对于xR，4gxgx，则函数sin21hxxxgx在区间2023,2023上的最大值与最小值的和为（）A.4B.6C.7D.86.如图，12,FF为双曲线的左右焦点，过2F的直线交双曲线于,BD两点，且223FDFB，E为线段1DF的中点，若对于线段1DF上的任意点P，都有11PFPBEFEB成立，则双曲线的离心率是（）A.2B.3C.2D.57.已知数列18371,212nnnnanbn，若对任意的*,0nnnNab，则实数的取值范围是（）A.118,25B.518,85C.111,23D.511,838.如图，在三棱锥ABCD中，45ABC，点P在平面BCD内，过P作PQAB于Q，当PQ与面BCD所成最大角的正弦值是104时，PQ与平面ABC所成角的余弦值是（）A.105B.64C.155D.106二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知函数sin223sincos6fxxxx，则（）A.fx的最大值为1B.直线3x是fx图象的一条对称轴C.fx在区间,63上单调递减D.fx的图象关于点,06对称10.已知O为坐标原点，抛物线24yx的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于,AB两点，下列说法正确的有（）A.线段AB长度的最小值为4B.过点0,1M与抛物线只有一个交点的直线有两条C.直线OA交抛物线的准线于点D，则直线DB平行x轴D.AOB可能为直角三角形11.如图，棱长为3的正方体1111ABCDABCD的顶点A在平面内，其余各顶点均在平面的同侧，已知顶点DB､到平面的距离分别是1和2.下列说法正确的有（）A.点C到平面的距离是3B.点1C到平面的距离是4C.正方体底面ABCD与平面夹角的余弦值是23D.AB在平面内射影与1AD所成角的余弦值为10512.已知2.86,lnln0.35,,lnlnabccddabcdab，则有（）A.2abeB.2cdeC.1adD.1bc三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.数据：2，5，7，9，11，8，7，8，10中的第80百分位数是__________.14.512xx的展开式中2x的系数是__________.15.三个元件,,abc独立正常工作的概率分别是112,,323，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒123,,TTT中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________.16.对平面上两点AB､，满足1PAPB的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点,AB是此圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关.已知1,0,4,0,0,3ABD，与,AB两点距离比是12的点P的轨迹方程是22:4Cxy，则2PDPB的最小值是__________；最大值是32PAPD的__________.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且向量2,mbac与向量cos,cosnAC共线.（1）求C；（2）若3,cABC的面积为32，求ab的值.18.（本题满分12分）已知数列na的前n项和为nS，若111,2nnSaa.（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足,,11,,11nnanbnnnnn是奇数是偶数求数列nb的前10项和10T.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，23,60,5,PAABPAEAEPA.（1）求证：PA平面ABCD；（2）若F是线段PD上的动点（不含线段端点），当平面AEF与平面PAB的夹角为30时，求线段PF的长度.20.（本题满分12分）椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是22，且过点2,1P.（1）求C的方程；（2）过点P的直线12,ll与C的另一个交点分别是,AB，与y轴分别交于,MN，且,MOONPQAB于点Q，是否存在定点R使得RQ是定值？若存在，求出点R的坐标与RQ的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）当前，新冠病毒致死率低，但传染性较强.经初步统计，体质好的人感染呈显性（出现感染症状）或呈隐性（无感染症状）的概率都是12，体质不好的人（易感人群）感染会呈显性，感染后呈显性与呈隐性的传染性相同，且人感染后在相当一段时期内不会二次感染.现有甲乙丙三位专家要当面开个小型研究会，其中甲来源地人群的感染率是12，乙来源地人群的感染率是13，丙来源地无疫情，甲乙两人体质很好，丙属于易感人群，参会前三人都没有感染症状，只确定丙未感染.会议期间，三人严格执行防疫措施，能隔断23的病毒传播，且会议期间不管谁感染，会议都要如期进行，用频率估计概率.（1）求参会前甲已感染的概率；（2）若甲参会前已经感染，丙在会议期间被感染，求丙感染是因为乙传染的概率；（3）若参会前甲已感染，而乙､丙均未感染，设会议期间乙､丙两人中感染的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列与期望.22.（本题满分12分）已知函数22,xtxxtfxtRe.（1）讨论fx的单调性；（2）若0x时，3222ln220xtxxtxexxxx，求实数t的取值范围.永州市2023年高考第二次适应性考试试卷数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ACADBDBC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．题号9101112答案ABCACACDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1014．4015．4916．210；5部分小题答案8．解：由于,QAB过Q作AB的垂面QEF，如图可知,,ABQEABQF过AB作平面BCD上的垂面ABM,如图，即面ABM面BCD，可得BM与EF的交点即为满足条件的P点，从而QPB为PQ与面BCD所成角的最大角，故10sin4QPB.平面QEF平面ABC，过P作PHQE于H，连接BH，可知EQP就是PQ与平面ABC所成角，在RtQEP中，90EPQ，cosQPEQPQE，且QEB为等腰直角三角形，则QBQE.tancos,QBPEQP（第11题图二）（第11题图一）而10sin,42QPBQPBQBP，15tan,5QBP15cos5EQP11．解：如图建系，AB＝（3，0，0），AD＝（0，3，0），(3,3,0)AC.设平面α的法向量m＝（a，b，c），依题知：||2||||1||ABADmmmm，求得(2,1,2)m，所以点C到平面的距离||3||ACmdm，所以1C到平面的距离是5，故A对B错；平面ABCD与平面α夹角的余弦值是||23||||nnmm，C对．因为点(0,0,3)B到平面α的距离为2，3m，所以AB在面α内射影向量是2524,,3333mtAB，1AD＝(0，3，3)，所以t与1AD夹角的余弦值是105，105，D所以AB在平面α内射影与AD1所成角的余弦值为对．正确答案ACD．方法二：由勾股定理，易得点C到平面α的距离是3，A对；如图一延长BD交面α于点M，易知DM＝BD=32，在△AMD中，∠ADM＝135o,由余弦定理求得AM＝35，过D作DN⊥AM于N，由面积法求得DN＝35，如图二延长D1D交面α于点E，过D作DH⊥EN于H，则DH⊥面α于H，Rt△EDH中，DN＝35，DH＝1，HN＝25，EH＝52，ED＝23，ED1＝22393＋＝，（第11题图三）故D1到平面α的距离是3，C1到平面α的距离是5，B错；正方体底面ABCD与平面α夹角的平面角为∠DNE，cos∠DNE=23,C对；如图三，分别过B，D1作BP⊥面α于P，D1Q⊥面α于Q，过B作BF//PQ交D1Q于F，BP＝2，D1Q＝3，D1B＝33，PQ＝BF＝26，AP＝5，D1P＝35，由余弦定理求得118+53510cos52532DAP=，则AB在平面α内射影AP与AD1所成角的余弦值是105，D对．正确答案ACD．12．解：构造函数lnxfxx，()=lngxxx，2ln1()lnxfxx，()fx在区间1e，上递减，在区间(,+)e上递增，ln1()=xgx＋，()gx在10e，上递减，在1e，+上递增，由极值点偏移知A错B对，1＜aeb，c1ed＜1，1()fx＝1()gx，1()fd＝1()gd，11,1eaed，()fx在区间1e，上递减，1()fd＝1()gd＝2.857＜2.86＝f(a)，1da，ad＜1，()fx在(,+)e上递增，1()fc＝1()gc，1,ebec，1()fc＝1()gc＝2.857＜2.86＝fb，1bc，1bc，选BCD．16．解：依题知｜PB｜=2|PA|，2|PD|+|PB|＝2|PD|＋2|PA|≥2｜AD｜＝210，设点D关于圆C对应的阿波罗点为E（0，m），依题知点（0，2），（0，－2）分别到点E，D的距离之比为22+323+2mm－＝，求得43m，23＝，E（0，43），|PE|=23|PD|，3|PA|－2|PD|＝3（|PA|－23|PD|）＝3（|PA|－|PE|）3｜AE｜=5.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）解：（1）∵向量(2,)mbac与向量(cos,cos)nAC共线，∴(2)coscos0baCcA，…………………1分即(2sinsin)cossincos0BACCA