湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期元月月考数学试卷Word版含答案

绝密★启用前永州一中2023年高三元月大联考数学注意事项：本卷满分150分，考试时间120分钟.1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合2log12,{04}AxxBxxZ∣∣，则AB（）A.0,1B.0,1,2C.1,2D.{22}xx∣2.已知23i47iz，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点的坐标是（）A.1,1B.2,1C.1,2D.2,23.已知nS为等差数列na的前n项和，478416,aSaa，则10a（）A.1B.2C.3D.44.全球智能手机市场销量持续增长乏力已经是不争的事实，但折叠屏手机却走出逆势，成为行业唯一增长的高端机品类.下图是某数据公司统计的2022年第一季度中国折叠屏手机市场份额.现有2022年第一季度中国折叠屏手机市场份额超过5%的品牌折叠屏手机各一部，从中任取2部手机，则其中有A品牌折叠屏手机的概率为（）A.310B.12C.35D.7105.在平面内，,AB是两个定点，C是动点，若||||CACBAB，则点C的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线6.已知直线:220lxy是圆22:(3)()6Cxyb的一条对称轴，设直线l与x轴的交点为P，将直线l绕点P按顺时针方向旋转30得到直线l，则直线l被圆C截得的弦长为（）A.1B.3C.2D.57.已知0.60.560.5,0.6,log5abc，则,,abc的大小关系为（）A.abcB.acbC.bacD.bca8.四面体ABCD的各个顶点都在球O的表面上，,,BABCBD两两垂直，且11,3,4,ABBCBDE是线段BC上一点，且2BEEC，过E作四面体ABCD外接球O的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（）A.7B.9C.5D.8二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数sin23fxx，则下列结论中正确的是（）A.为函数fx的一个周期B.2,03是曲线yfx的一个对称中心C.若函数yfx在区间,aa上单调递增，则实数a的最大值为512D.将函数fx的图象向右平移12个单位长度后，得到一个偶函数的图象10.已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，准线为l，过抛物线C上一点P作l的垂线，垂足为Q，则下列说法正确的是（）A.准线l的方程为2xB.若过焦点F的直线交抛物线C于1122,,,AxyBxy两点，且126xx，则8ABC.若2,1E，则PEPF的最小值为3D.延长PF交抛物线C于点M，若43PF，则163PM11.若实数,xy满足44222xyxy，则1122xy的值可以是（）A.1B.32C.2D.5212.如图，已知正三棱柱111ABCABC中，11,2,ABAAM为1AA的中点，直线1BM与平面ABC的交点为O，则以下结论正确的是（）A.3OCB.直线OC∥平面1BMCC.在线段1BC上不存在一点P使得11APBCD.以1A为球心，52为半径的球面与侧面11BCCB的交线长为2三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数ln2fxxxxe，其中e为自然对数的底数，则曲线yfx在1x处的切线方程为__________.14.5(1)x的展开式中所有有理项的系数之和为__________.15.已知0,2x，且5sin2cos2xx，则tan24x__________.16.已知O为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左､右焦点分别是12,FF，离心率为62，点11,Pxy是C的右支上异于顶点的一点，过2F作12FPF的平分线的垂线，垂足是,2MMO，若点22,Qxy满足22xy，则221212xxyy的最小值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列na的前n项和为nS，且满足22233nnSan.（1）求证：数列1na是等比数列；（2）若12nnba，数列nb的前n项和为nT，求证：16nT.18.（12分）已知在ABC中，6A，点D在边AB上且满足3,ADBDDC.（1）若ADC的面积为32，求22BDAC的值；（2）若3BC，求B的大小.19.（12分）近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时发展了利用短视频平台进行直播带货，成就了一批带货主播.国内短视频领域，已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类似，存在竞争关系.（1）现对某时段100名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行调查，得到如下数据：选择甲公司购物平台选择乙公司购物平台合计用户年龄段1924岁401050用户年龄段2534岁203050合计6040100根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？（2）（i）若小李第一天等可能地从甲､乙两家中选一家平台购物，如果第一天去甲平台，那么第二天去甲平台的概率为0.7；如果第一天去乙平台，那么第二天去甲平台的概率为0.8.求小李第二天去甲平台购物的概率；（ii）双十一这天，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率均为(01)pp，三人是否抢购成功互不影响.若X为三人下单成功的总人数，且1EX，求p的取值范围.参考公式：22()nadbcabcdacbd，其中nabcd.2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表：0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82820.（12分）如图①，已知矩形ABCD的长为4，宽为3，点M是边AB上的点，且3AMMB.如图②，将AMD沿MD折起到AMD的位置，使得平面AMD平面BMDC，平面AMB平面ACDl.（1）求证：l∥平面BMDC；（2）在线段DC（不包含端点）上是否存在一点P，使得平面AMP与平面AMC的夹角的余弦值为255？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)xyCabab的左､右焦点分别为12,FF，直线xn与椭圆C交于,EF两点，当1EFF的周长取得最大值8时，3EF.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点2F作斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于AB､两点，若31,2P，直线AP与直线4x交于点Q，记直线QAQB､的斜率分别为12,kk，试判断12kk是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.22.（12分）设函数xfxeax，其中e为自然对数的底数.（1）若fx存在极值，求实数a的取值范围；（2）当0a时，不等式ln1xfxax恒成立（fx为fx的导函数），求实数a的值.永州一中2023年高三元月大联考数学·全解全析及评分标准123456789101112BCDBACAAABDBCDBCAB一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.B【解析】2log12,014,13xxx，即{13}Axx∣，由{04}BxxZ∣，得0,1,2,3,0,1,2BAB.故选B.2.C【解析】由23i47iz，得47i23i47i12i23i23i23iz，所以复数z在复平面内所对应的点的坐标为1,2，故选C.3.D【解析】方法一：设等差数列na的公差为d，由478416,aSaa，得418477171620aadaa，即1111372116730adadadad，解得151ad，所以116naandn，则104a，故选D.方法二：设等差数列na的公差为d，因为1744744477281622aaaaSaaa，所以42a.由840aa可得60a，由462,0aa得15,1ad，所以5116nann，则104a，故选D.4.B【解析】方法一：由题意，知市场份额超过5%的折叠屏手机品牌有,,,ABCD，且现有这四个品牌手机各1部，共4部，从中任取2部手机，有A品牌折叠屏手机的概率为132412CC，故选B.方法二：由题意，知市场份额超过5%的折叠屏手机品牌有,,,ABCD，且现有这四个品牌手机各1部，共4部，从中任取2部手机，基本事件有,,,,,ABACADBCBDCD，共6种，其中有A品牌折叠屏手机的是,,ABACAD，共3种，所以所求概率为3162P.故选B.5.A【解析】设O为线段AB的中点，2CACBCO.因为||||CACBAB，所以||2||ABCO，所以12COAB，所以ACBC，当点C在点A或B时也满足||||CACBAB，所以点C的轨迹为以线段AB为直径的圆.故选A.6.C【解析】根据题意，得点3,b在直线:220lxy上，所以2320b，所以4b，故圆C的圆心坐标为3,4C，半径为6r.由直线:220lxy得直线l与x轴的交点为1,0P，所以25PC，所以圆心到直线l的距离为sin305PC，故直线l被圆C截得的弦长为222(6)(5)2.故选C.7.A【解析】因为0.60.50.50.50.50.6，所以ab.因为0.60.64，所以0.50.540.60.645b，又5645lg5lg3125log514lg6lg1296，所以64log55c，所以bc，故选A.8.A【解析】设所得截面圆的面积为S，半径为r，由,,BABCBD两两垂直可将四面体ABCD放入长方体中，如图所示，易得外接球半径222132RBCBDAB，过E作球O的截面，所得截面圆的面积最大时为过球心的圆面，2max9SR；所得截面圆的面积最小时为与最大截面垂直的圆面.在OBC内，3OBOCBC，所以60OCB，所以2222cos607OEOCCEOCCE，所以7OE，即222minminmin2,2rROESr，所以maxmin7SS.故选A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ABD【解析】对于A：函数sin23fxx的最小正周期为，所以为函数fx的一个周期，故A正确；对于B：令23xkkZ，解得26kxkZ，当1k时，23x，所以点2,03