数学（理科）答案

兰化一中2023届高三第四次阶段考试数学（理科）答案一、选择题（每题5分，共60分）题号123456789101112选项DBBADACACBDD12题解析：画出()fx的图象，由0abc且()()()fafbfc得：01,1,abece,lnln,lneabbc,1,lnabcbe.()()()afbbfccfa=)lnabcb（1=)lnbbeb（,令1()()ln+,(1)gbbbebeb，则2111()(1)ln()gbbbbbb，21()1ln(1ln)gbbbb，1,1ln0,ln0bebb，()0gb，则函数()gb在区间1,e上单调递增，(1)()()ggbge，即e11)ln2bbeebe（，()()()afbbfccfa的取值范围是1,2eee（以a为变量时，注意a的取值范围为11ae）.故答案为D.二、填空题（每题5分，共20分）13、1,114、-1或315、416、4037三、解答题（共70分）17.（12分）（1）选①2coscoscbBaA，所以2sinsincossincosCBBAA，所以2sincossincossincosCABAAB，整理得2sincossincossincossin()sinCABAABABC.因为sin0C，所以1cos2A.因为π0,2A，所以π3A.选②因为2cos2aCcb，所以2sincossin2sin2sinACCBAC，所以2sincossin2sincos2cossinACCACAC，整理得sin2cossinCAC.因为sin0C，所以1cos2A，因为π0,2A，所以π3A.选③因为1sincossin23cos2aACcAbA，所以sinsincossinsincos3sincosAACCAABA，所以sin(sincossincos)3sincosAACCABA，整理得sinsin3sincosABBA.因为sin0B，所以sin3cosAA.因为π0,2A，所以tan3A，π3A.（2）因为π3A，所以13coscoscoscoscossinsin226πBCBBABBB.因为π0,2B，所以2π0,32πCB，所以ππ,62B，所以ππ2π,633B，所以π3sin,162B，故3coscos,12BC.18.（12分）（1）∵0.00250.0150.020100.375，0.00250.0150.0200.025100.625，所以中位数位于60,70之间，设这200名同学竞赛成绩的中位数为x，则0.00250.0150.0200.02560100.5x，解得65x．竞赛成绩不低于80分的学生人数为：2000.01000.005301；（2）设这名同学获得书籍的数量为，则的可能取值为2，4，6，8．2312342P，21321174343448P，1213116C3448P，211183448P，所以的分布列为2468P12174818148117111024682488483E19.（12分）（1）取线段CF中点H，连接OHGH、，由图1可知，四边形EBCF是矩形，且2CBEB，O是线段BF与CE的中点，//OHBC且12OHBC，在图1中//AGBC且12AGBC，//EFBC且=EFBC．所以在图2中，//AGBC且12AGBC，//AGOH且AGOH四边形AOHG是平行四边形，则//AOHG由于AO平面GCF，HG平面GCF，AO//平面.GCF（2）由图1，,EFAEEFBE，折起后在图2中仍有,EFAEEFBE，AEB即为二面角AEFB的平面角．2π3=AEB，以E为坐标原点，EBEF，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系Exyz如图，且设2=2=4CBEBEA，则2,0,0,0,4,01,0,3BFA,，11,2,32FGFEEAAGFEEAEF，3,0,32,0,0BAFCEB,，设平面GCF的一个法向量(,,)nxyz，由·0·0nFCnFG，得20230xxyz，取=3y，则2z，于是平面GCF的一个法向量0,3,2n，237cos,7127nBAnBAnBA，∴直线AB与平面GCF所成角的正弦值为7.720.（12分）（1）由题可知2223313122bcacbabc解得2,1,3,abc故椭圆的方程为2214xy.（2）当直线l的斜率不存在时，设0,1P，0,1Q，0Mm，，由2PMMQ，0120,1mm，，得13m，同理，当0,1Q,0,1P时，得13m，所以13m，当直线l的斜率存在时，即13m时，设直线PQ的方程为ykxm，联立22,44,ykxmxy消去y得222148440kxkmxm.因为直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，所以222Δ(8)414440kmkm，即22410km①.设1122,,,PxyQxy，则2121222844,1414kmmxxxxkk②，则1122,,,PMxmyMQxym，由2PMMQ，得122xx③，③代入②得22222(8)4421414kmmkk，化简整理得2221364mkm④，将④代入①得2221191mmm，化简得2119m，解得113m或113m.综上，m的取值范围为111,,133U.21.（12分）（1）21lne0xxfxaxx，因为函数在ex处取得极值，所以21lneee0eefa，则0a，当0a时，21ln0xfxx，得ex当0,ex时，()0fx¢，函数单调递增，当e,x时，0fx，函数单调递减，所以当ex时，函数取得极大值，综上可知函数的单调递增区间是0,e，函数的单调递减区间是e,；（2）eln2xgxxfxxaxxx，1,x恒成立，即elne2xxaxx，设extx，1e0xtx，所以函数extx单调递增，et，不等式转化为ln2att，et时恒成立，转化为2lntat恒成立，即min2lntat，设2lnthtt，23ln0thtt，解得：3et，当3e,et时，0ht，函数单调递减，当3e,t时，0ht，函数单调递增，所以当3et时，函数ht取得最小值，最小值是31e，所以实数a的取值范围为31eaa22.（10分）（选做）（1）直线l的参数方程为23(1)xtyt，消去参数t，可得3(1)yx，即330xy；曲线C的极坐标方程为4sin()6，即2(23sin2cos)，化为直角坐标方程是22232xyyx，即22(1)(3)4xy；所以直线l的普通方程是330xy，曲线C的直角坐标方程为22(1)(3)4xy；（2）令0x，得直线l与y轴交于点(0,3)P，把直线l的参数方程化为12(332xmmym为参数），代入22(1)(3)4xy，得到2790mm，故127mm，129mm；所以22221121222222222121212()21111491831||||8181mmmmmmPAPBmmmmmm23.（10分）（选做）（1）因为123mn，1213mn，所以14121214121123mnmnmnmn24(1)1452412333nmmn，当且仅当41212mnmn，且22mn，即0m，1n时等号成立，则121mn的最小值为3.（2）222222222212422122111nmnmmnnmnmnm2221818161911nnmmnm892181611nmnm98911mn9169122mn，因为1225mn，所以12215mn，所以原式91612212295mmmn92216191612295nmmn，25291695494955当且仅当922161122nmmn，且22mn，即87m，37n时等号成立，则224221mnnm的最小值为45.