【理科数学（教师版）】2023江西省九江市2023年第一次高考模拟统一考试

九江市2023年第一次高考模拟统一考试数学试题（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2230≤MxxxN，04≤≤Nxx，则MN(A)A.0123，，，B.123，，C.03≤≤xxD.13≤≤xx解：{|13}0123≤≤,,,MxxN，{0,1,2,3}MN，故选A.2.复数z满足(1i)24iz，则z的虚部为（A）A.3B.3C.1D.1解:24i(24i)(1i)26i13i1i(1i)(1i)2z，虚部为3，故选A.3.若实数,xy满足约束条件22350xyxyxy≥0≥0≤，则zxy的最大值为(D)A.1B.0C.1D.3解：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.易知目标函数zxy的最大值在(2,1)B处取得，max3z.故选D.4.巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决.欧拉通过推导得出：22111π1496n.某同学为了验证欧拉的结论，设计了如右算法计算21111491000的值来估算，则判断框填入的是(D)A.1000nB.1000n≥C.1000n≤D.1000n解：由程序框图可知，最后一次进入判断框时，999n，执行最后一次循环体，1000n，221111sum=sum+=11000491000，输出sum，故选D.5.设等比数列{}na的公比为q，前n项和为nS，则“0q”是“{}nS为递增数列”的（B）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：若10a，0q，则{}nS为递减数列.若{}nS为递增数列，则1210aSS，2320aSS，210aqa.所以“0q”是“{}nS为递增数列”的必要不充分条件.故选B.6.已知ABC△是边长为2的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为8π，则O到平面ABC的距离为（B）A.53B.63C.233D.153解:24π8πR，球O的半径2R，设ABC△的外心为O，从而233OA，所求距离46233d，故选B.7.已知函数()fx的定义域为R，若(21)fx为偶函数，且()(4)2fxfx，(1)2f，则221()nfn(A)A.23B.22C.19D.18解：由()(4)2fxfx，令2x得(2)1f.令1x，得(1)(3)2ff，(1)2f，(3)0f.因为(21)fx为偶函数，(21)(21)fxfx，即(1)(1)fxfx，曲线()fx关于直线1x对称.又()(4)2fxfx，()fx图像关于点(2,1)中心对称，()fx的周期4(21)4T.(4)(0)(2)1fff，(1)(2)(3)(4)4ffff，221()54(1)(2)23nfnff.故选A.8.已知双曲线2222:1xyEab(0,0ab)，过点(2,0)M作E的一条渐近线l的垂线，垂足为P，过点M作x轴的垂线交l于点Q，若MPQ△与MPO△的面积相等(O为坐标原点)，则E的离心率为（C）A.62B.233C.2D.3解:MPQ△与MPO△的面积相等，P为OQ的中点，故OMQ△为等腰直角三角形，45MOQ,1ba，22ab，即222aca，22e，2e，故选C.9.在正方体1111ABCDABCD中，点M为棱AB上的动点，则1AM与平面11ABCD所成角的取值范围为（C）A.ππ[,]42B.ππ[,]63C.ππ[,]64D.ππ[,]43解：设11ADADO，连接OM，1AO平面11ABCD，1AMO即为1AM与平面11ABCD所成角.设12AA，12tanAOOMOM，26OM，3tan[,1]3，ππ[,]64，故选C.10.已知,mn为单位向量，则向量2mn与n夹角的最大值为(A)A.π6B.π3C.2π3D.5π6解：设,mn，则(2)cos2cos2,54cos2mnnmnnmnn，令54cost，[1,3]t，2521334cos2,()42tmnnttt，当且仅当3t时取等号，向量2mn与n夹角的最大值为π6.故选A.11.为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生20人，女生30人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为2212,ss.记该班成绩的方差为2s，则下列判断正确的是（D）A.222122sssB.222122sss≥C.22212235sssD.22212235sss≥解:记男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为,xy，则2022222211220111[()()()]2020iisxxxxxxxx，3022221130iisyy，20222112020iixsx,30222213030iiysy，123(2030)505xyxxy，222030222222212112312323()()505555iiiissxysxyxxy22222121223236()5255ssssxy≥，故选D.12.若对11(,)22ex，不等式(4)ln2lnln2axxaax恒成立，则实数a的取值范围是(C)A.(0,4e]B.(4e,)C.[4e,)D.(4e,)解：由已知得：0a，(4)ln2lnln2ln(2)2(ln2ln)axxaaxaxxax，222ln(2)ln(2)ln()ln()22axxxaxaxxax.令ln()xfxx，则2(2)()fxfax，求导得21ln()xfxx，()fx在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，且当01x时()0fx；当1x时，()0fx.11(,)22еx,12(,1)еx，(2)0fx，由2(2)()fxfax及ln()xfxx的图象可知，22xax恒成立，即2ax成立，而2(4,4e)x，4еa≥，故选C.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等差数列{}na的前n项和为nS，若48S，735S，则5a7.解：依题意得1146872135adad，解得112ad，5147aad.14.2022年11月8日，江西省第十六届运动会在九江市体育中心公园主体育场开幕，这是九江市举办的规模最大、规格最高的综合性体育赛事.赛事期间，有3000多名志愿者参加了活动.现将4名志愿者分配到跳高、跳远2个项目参加志愿服务活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则“恰好有一个项目分配了3名志愿者”的概率为47.解：124248422147CAp.15.已知函数()2cos()fxx(0)的最小正周期为π，()fx的图像关于点π(,0)12对称，(0)0f.若()fx在[0,]m上存在最大值2，则实数m的最小值是5π6.解：2ππT，2，πππ,Z62kk，即ππ,Z3kk，又(0)2cos0f，1π2π,Z3kk，π()2cos(2)3fxx，[0,]xm时，πππ2[,2]333xm，画图可知：π22π3m，解得5π6m，即min5π6m.16.已知点AB,分别是抛物线2:4Cyx和圆22:2440Exyxy上的动点，点A到直线:2lx的距离为d，则ABd的最小值为22.解：圆E的标准方程为22(1)(2)1xy，(1,2)E，抛物线C的焦点为(1,0)F，准线方程为1x，1AFd，111ABdABAFAEAF22AEAFEF，即ABd的最小值为22.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)ABC△中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc，已知2b，2sin3cosAaB.(1)求角B的值；(2)求AC边上高的最大值.解:(1)由2sin3cosAaB，得2sin3cosaAB………1分由正弦定理sinsinabAB，得2sin3cosbBB………3分又2b，sin3cosBB………4分即tan3B………5分(0,π)B，π3B………6分(2)解法一：设AC边上高为h，由余弦定理2222cosbacacB,得22π42cos3acac………7分即224acac………8分222acac，24acac，即4ac，当且仅当ac时，等号成立………10分13sin(0,3]24ABCSacBac△………11分又12ABCSbhh△，(0,3]h，AC边上高的最大值为3………12分解法二：设AC边上高为h，由正弦定理得，43sinsinsin3baAAB，43sinsinsin3bcCCB………7分21334343sin()sinsinsinsin24433ABCSacBacACAC△………8分因为πABC，sinsin()ABC，2434331sin()sin(sincossin)3322ABCSBCCCCC△4331cos2(sin2)344CC23π3sin(2)363C………10分2π(0,)3C，ππ7π2(,)666C，π1sin(2)(,1]62C，(0,3]ABCS△………11分又12ABCSbhh△，(0,3]h，AC边上高的最大值为3………12分18.(本小题满分12分)如图，直角梯形ABCD中，BCAD//，90BAD，2ABAD，22BC，将ABD△沿BD翻折至ABD△的位置，使得ABAC，F为BC的中点.(1)求证：平面ABD平面BCD；(2)H为线段AC上一点，若二面角HDFC的余弦值为33，求线段AH的长.解:(1)ABAC，ABAD，ACADA，,ACADÜ平面ACD，AB平面ACD………1分又CDÜ平面ACD，CDAB………2分由直角梯形ABCD，BCAD//，90BAD，2ABAD，22BC，得CDBD………3分又ABBDB，,ABBDÜ平面ABD，CD平面ABD………4分又CDÜ平面BCD，平面ABD平面BCD………5分DABCHDBFC(2)取BD的中点E，连接AE，EF，ABAD，AEBD，又平面ABD平面BCD，AE平面BCD,E为BD的中点，F为BC的中点，EFCD，又CDBD，EFBD………6分故以,,EBEFEA所在的直线分