IEEE 745浮点数标准

标题:解读IEEE标准754：浮点数表示解读IEEE标准754：浮点数表示如须转载请注明作者为[e-mail]，并请保持文章的完整和提供转载出处。更新：20060623-06:44增加了求最大非规格数的公式20060622-23:40修改了几处笔误，换掉了实验部分的那张大图，改用代码显示。一、背景在IEEE标准754之前，业界并没有一个统一的浮点数标准，相反，很多计算机制造商都设计自己的浮点数规则，以及运算细节。那时，实现的速度和简易性比数字的精确性更受重视。直到1985年Intel打算为其的8086微处理器引进一种浮点数协处理器的时候，聪明地意识到，作为设计芯片者的电子工程师和固体物理学家们，也许并不能通过数值分析来选择最合理的浮点数二进制格式。于是Intel在请加州大学伯克利分校的WilliamKahan教授──最优秀的数值分析家之一来为8087FPU设计浮点数格式;而这个家伙又找来两个专家来协助他，于是就有了KCS组合（Kahn,Coonan,andStone）。他们共同完成了Intel的浮点数格式设计，而且完成地如此出色，以致于IEEE组织决定采用一个非常接近KCS的方案作为IEEE的标准浮点格式。目前，几乎所有计算机都支持该标准，大大改善了科学应用程序的可移植性。二、表示形式从表面上看，浮点数也是一串0和1构成的位序列(bitsequence)，并不是三头六臂的怪物，更不会咬人。然而IEEE标准从逻辑上用三元组{S,E,M}表示一个数N,如下图所示：N的实际值n由下列式子表示：其中：★n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。★S(sign)表示N的符号位。对应值s满足：n0时，s=0;n0时，s=1。★E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。对应值e值也可正可负。★M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）,甚至被称作“小数”。三、浮点数格式IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。★单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。★双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。值得注意的是，M虽然是23位或者52位，但它们只是表示小数点之后的二进制位数，也就是说，假定M为“010110011...”,在二进制数值上其实是“.010110011...”。而事实上，标准规定小数点左边还有一个隐含位，这个隐含位通常，哦不，应该说绝大多数情况下是1，那什么情况下是0呢？答案是N对应的n非常小的时候，比如小于2^(-126)(32位单精度浮点数)。不要困惑怎么计算出来的，看到后面你就会明白。总之，隐含位算是赚来了一位精度,于是M对应的m最后结果可能是m=1.010110011...”或者“m=0.010110011...”四、计算e、m首先将提到令初学者头疼的“规格化(normalized)”、“非规格化(denormalized)”。噢，其实并没有这么难的，跟我来！掌握它以后你会发现一切都很优雅,更美妙的是，规格化、非规格化本身的概念几乎不怎么重要。请牢记这句话：规格化与否全看指数E！下面分三种情况讨论E，并分别计算e和m:1、规格化：当E的二进制位不全为0,也不全为1时，N为规格化形式。此时e被解释为表示偏置（biased）形式的整数,e值计算公式如下图所示：上图中，|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为10000100,则|E|=132,e=132-127=5。k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。此时m的计算公式如下图所示：标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。如M=101，则|1.M|=|1.101|=1.625,即m=1.6252、非规格化：当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式。此时e，m的计算都非常简单。注意，此时小数点左侧的隐含位为0。为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。后文我们还会继续讨论。有了非规格化形式，我们就可以表示0了。把符号位S值1,其余所有位均置0后，我们得到了-0.0;同理，把所有位均置0,则得到+0.0。非规格化数还有其他用途，比如表示非常接近0的小数，而且这些小数均匀地接近0,称为“逐渐下溢(graduallyunderflow)”属性。3、特殊数值：当E的二进制位全为1时为特殊数值。此时，若M的二进制位全为0，则n表示无穷大，若S为1则为负无穷大，若S为0则为正无穷大;若M的二进制位不全为0时，表示NaN(NotaNumber)，表示这不是一个合法实数或无穷，或者该数未经初始化。五、范例仔细研读第四点后，再回忆一下文章开头计算n的公式，你应该写出一个浮点编码的实际值n了吧？还不能吗？不急，我先给你示范一下。我们假定N是一个8位浮点数，其中，S占1位，E占4位，M占3位。下面这张表罗列了N可能的正数形式，也包含了e、m等值，请你对照着这张表，重温一下第四点，你会慢慢明白的。说实在的，这张表花了我不少功夫呢,幸好TeX画表格还算省事！这张表里头有很多有趣的地方，我提醒一下：★看N列，从上到下，二进制位表示是均匀递增的，且增量都是一个最小二进制位。这不是偶然，正是巧妙设计的结果。观察最大的非规格数，发现恰好就是M全为1,E全为0的情况。于是我们求出最大的非规格数为：上面的公式中，h为M的位数(如范例中为3)。注意，公式等号右边的第一项同时又是最小规格数的值（如范例中为8/512）;第二项则正是最小非规格数的值(如范例中为1/512)即该浮点数能表示的最小正数。★看m列，规格化数都是1+x的形式，这个1正是隐含位1;而非规格化数隐含位为0,所以没有1+。★看n列，非规格化数从上到下的增量都是1/512,且过渡到规格化数时，增量是平滑的，依旧是1/512。这正是非规格化数中e等于(1-bias)而不是(-bias)的缘故，也是巧妙设计的结果。再继续往下看，发现增量值逐渐增大。可见，浮点数的取值范围不是均匀的。六、实战我们用一小段汇编来测试一下，浮点数在内存中是如何表示的。测试环境：GentooLinux2006.0/GNUassemblerversion2.16.1/GNUgdb6.4/AMDXP1600+。如下所示代码:~/coding/assemble$gdb(gdb)list1.section.data2f1:3.float54f2:5.float0.16.section.text7.global_start8_start:9nop10(gdb)x/f&f10x80490a4f1:5(gdb)x/xw&f10x80490a4f1:0x40a00000(gdb)x/f&f20x80490a8f2:0.100000001(gdb)x/xw&f20x80490a8f2:0x3dcccccd(gdb)从上面的gdb命令结果可以看出，浮点数5被表示为0x40a00000，二进制形式为(0100000010100000...00000000)。红色数字为E，可以看出|E|=1290,则e=129-bias=129-127=2；蓝色数字为M,且|E|0，说明是规格化数，则m=|1.M|=|1.01000..000|=1.25;由n的计算公式可以求得n=(-1)^0*1.25*2^2=5，结果被验证了。同样，你也可以验证一下十进制浮点数0.1的二进制形式是否正确，你会发现，0.1不能表示为有限个二进制位，因此在内存中的表示是舍入(rounding)以后的结果，即0x3dcccccd,十进制为0.100000001，误差0.000000001由此产生了。七、未完成关于浮点数，还有很多东西（比如舍入误差、除零异常等等）值得我们深入探讨，但已经无法在此继续。这篇文章的目的仅在初步解释IEEE标准754对浮点数的规定以及一些奇妙的地方。写这篇文章花掉了我整天的时间，但也使我彻底记住了以前让我胆怯的东西──最重要的是，希望这篇文章对大家有点用处，也算我为计算机科学基础理论版以及Linuxsir.org做的一点贡献。参考书目：①:RandallHyde,TheArtofAssemblyLanguage,Vol.1,4.2.1②:RandalE.Bryant,DavidR.O’Hallaron,ComputerSystemsAProgrammer’sPerspective(BetaDraft),PartⅠ，Chapt.Ⅱ，2.4③:RechardBlum,ProfessionalAssemblyLanguage主题词：单片机数制转换器，单片机浮点数转换器人们研制电子计算机的初衷就是为了用于科学计算。时至今日，尽管现在单片机应用领域宽广、色彩缤纷，但复杂计算仍不可或缺的内容。针的对定点数不能胜任复杂计算的缺点，人们在实践中约定了不同格式、不同精度的浮点数，实现了浮点运算。因为计算机只能识别二进制数，完成二进制数的运算，所以我们所说的浮点数一般都是指二进制浮点数。与定点数相比，浮点数能较好地兼顾表达式数值范围，能简捷地表示出很大或很小的数值。浮点由阶码和尾数两部分组成，阶码为带符号的整数，尾数为小于1带符号的小数（如尾数的绝对值还满足大于或等于1/2，则称该浮点数为规格化浮点数）。计算过程中主要以足够长的尾数来保证数据的精度，以阶杩来调整数模（绝对值）的大小（即改变小数点的位置），并自动进行符号处理。因此浮点数具有精度高、数的表达范围宽等特点，特别适用于计算过程复杂、精度要求高的场合。目前单片机常用的浮点数格式，不外乎有四种格式：三字节格式、IEEE-754标准格式、IEEE-754标准变形1和IEEE-754标准变形2，共4种格式。作为单片机程序员来说，在编写程序时经常要检验程序中的浮点数运算结果是否正确，但手中又没有合适的检验工具，非常麻烦。对此我就深有体会。为此我收集整理有关浮资料，并编写了一款非常实用的转换工具，它能辅助你编写有关浮点数运算方便的程序，尤其是有关浮点数表格的制作，更是事半功倍。你只需将要转换的十进制定点数编制成一个文本文件，利用FON浮点数转换器“载入”，如图（2），点击一下转换按钮，顷刻间便可完成一个文件数据的转换。也可将浮点数转换为十进制定点数，即逆转换。FON浮点数转换器，我也在工作中使用了两年多，效果非常好，为节省了不少时间。下面是浮点数转换器的部分截屏：单个数据转换（图1）多组数据转换（格式1）（图2）多组数据转换（格式2）（图3）主要用于制作浮点数表格多组数据逆转换（图4），此时的定点数会出现此尾数差异，并不影响精度单片机浮点数格式说明★MCS-51三字节格式：浮点数格式如下：地址ebBY0BY1内容SEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMM用三个字节表示，第一个字节的最高位为数符S，正数为0，负数为1，其余七位为阶码（二进制补码形式）；第二字节为尾数的高字节；第三字节为尾数的低字节，尾数用双字节ＢＣＤ码纯小数（原码）来表示。例：已知a=-123.4；b=0.7577；c=56.34；d=1.276；用ＢＣＤ码浮点数表示时，分别为a=831234H；b=007577H；c=025634H；d=011276H。★MCS-51三字节浮点数规格化：为了提高运算精度，正数的尾数最高位规定为1，负数的尾数的最高位规定为0，这种形式的浮点数为规格化数（又称浮点操作数）。运算之前所有的浮点数都应转成规格化数。*********************************************************