几何证明的好方法——截长补短

几何证明的好方法——截长补短有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。……补短法（1）延长短边。（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……几种截长补短解题法类型我们大致可把截长补短分为下面几种类型；类型①a±b=c类型②a±b=kc类型③±abc类型④c²=a·b对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型②证明。对于②，可以将a±b与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。对于类型③，一般将截长或补短后的a±b与c构建在一个三角形中，与类型②相同。实际上是求类型②中的k值。对于类型④，将c²=a·b化为ca=bc的形式，然后通过相似三角形的比例关系进行证明。在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。例：HPGFBACDE在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）HPGFBACDE方法二（好证不好想）HMPGFBACDE例题不详解。（第2页题目答案见第3、4页）FEDCAB（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45o。求证：EF=DE+BF（1）变形aEFDCAB正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45o。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1）变形bEFDCAB正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45o。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1）变形cjFEABCD正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=45o。DB=DC，BDC=120o。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？（1）变形dFEDCAB正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15o，FAB=30o。AD=3求AEF的面积（1）解：（简单思路）GFEDCAB延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90oAD=AB又DG=BF所以ADGABF（SAS）GAD=FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90o=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF所以GAE=GAF-EAF=90o-45o=45oGAE=FAE=45o又AG=AFAE=AE所以EAGEAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE变形a解：（简单思路）GEFDCABEF=BF-DE在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADE=ABG=90oAD=AB又DE=BG所以ADEABG（SAS）EAD=GABAE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90o=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE所以GAF=GAE-EAF=90o-45o=45oGAF=EAF=45o又AG=AEAF=AF所以EAFGAF（SAS）EF=GF=BF-BG=BF-DE变形b解：（简单思路）GEFDCABEF=DE-BF在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90oAD=AB又DG=BF所以ADGABF（SAS）GAD=FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90o=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF所以GAE=GAF-EAF=90o-45o=45oGAE=FAE=45o又AG=AFAE=AE所以EAGEAF（SAS）EF=EG=ED-GD=DE-BF变形c解：（简单思路）GFEABCDEF=BE+FC延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。由ABC是正三角形得ABC=ACB=60o又DB=DC，BDC=120o所以DBC=DCB=30oDBE=ABC+DBC=60o+30o=90oACD=ACB+DCB=60o+30o=90o所以GCD=180o-ACD=90oDBE=DCG=90o又DB=DC，BE=CG所以DBEDCG（SAS）EDB=GDCDE=DG又DBC=120o=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG所以GDF=EDG-EDF=120o-60o=60oGDF=EDF=60o又DG=DEDF=DF所以GDFEDF（SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC变形d解：（简单思路）延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。过E作EHAG.前面如（1）所证，ADGABF，EAGEAFGAD=FAB=30o，SEAG=SEAF在RtADG中，GAD=30o，AD=3AGD=60o，AG=2设EH=x在RtEGH中和RtEHA中AGD=60o，HAE=45oHG=33x，AH=xAG=2=HG+AH=33x+x,EH=x=3-3SEAF=SEAG=EHAG2=3-3.（第5页题目答案见第6页）（2）OEDBAC正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。求证：AC/2=AD-EO（2）加强版FEMBDCAN正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。请问MN、AD、EF有什么数量关系？（2）解：（简单思路）OEBDACG过E作EGAD于G因为四边形ABCD是正方形ADC=90o，BD平分ADC，ACBD所以ADB=ADC/2=45o因为AE平分DAC，EOAC，EGAD所以EAO=EAG，DGE=AOE=AGE=90o又AE=AE，所以AEOAEG（AAS）所以AG=AO，EO=EG又ADB=45o，DGE=90o所以DGE为等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2（2）加强版解：（简单思路）PFEMBDCANGQMN/2=AD-EF过E作EGAD于G，作EQAB于Q，过B做BPMN于P按照（2）的解法，可求证，GNEFNE（AAS）DGE为等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF，因为四边形ABCD为正方形，ABC=GAQ=BCM=90oBD平分ABC，BC=BAABD=ABC/2=45o，又EQB=90oEQB为等腰Rt三角形，BEQ=45o因为GAQ=EGA=EQA=90o所以四边形AGEQ为矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ//AGQEN=ENG又ENG=ENF，所以QEN=ENF由BC=BA，BCM=BAN=90o，CM=AN，所以BCMBAN（SAS）BM=BN，CBM=ABNABC=90o=ABM+CBM=ABM+ABN=MBN，又BM=BN所以MBN为等腰Rt三角形，又BP斜边MN于P，所以NPB为等腰Rt三角形。BP=MN/2，PNB=45o。BNE=ENF+PNBBEN=QEN+QEB又QEN=ENF，PNB=QEB=45o所以BNE=BENBN=BE，又PNB=QEB=45o=NBP=EBQ所以BEQBNP（SAS）EQ=BP因为EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2所以AD-EF=MN/2。综合题体中的截长补短1、如图，在⊙O中，C是AB的中点，直线CD⊥AB于点E，AB＝BE，PB、PA组成的⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE＝PE+PB，请证明你的结论。分析：本题要证明AE＝PE+PB，可以将AE分为两段，使其中一段长度等于PE，然后另一段长度关于PB。反之亦。证明△AHC≌△BPC。然后再证明PB＝PE，那么AE＝PE+PB。证明：在AE上截取AH＝PB，连接AC、CH、BC、CP。∵C是AB的中点∴AC＝BC∴AC＝BC∵CP＝CP∴∠A＝∠B∴在△CAH与△CBP中∴△CAH≌△CBP(SAS)∴CH＝CP∵CE⊥HPCA=CB∠A=∠BAH=BP∴PE＝EH∴AE＝PE+PB2、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角∠BCQ，∠ACB＝120°，求BCACPC的值。分析：要求BCACPC的值，可用截长的方法来做，即可在AB上截取BE＝AC，使△PBE≌△PAC。即可求出BCACPC的值。解：连接PA、PB，在BC上截取BE，使BE＝AC，连接PE。∵∠QCP+∠PCA＝180°又∵∠PCA+∠PBA＝120°∴∠QCP＝∠PBA∵PB＝PB∴∠PCB＝∠PAB又∵∠QCP＝∠PBA∴∠PBA＝∠PAB∴PA＝PB，PB＝PA在△PBE与△PAC中∴△PBE≌△PAC（SAS）∴PC＝PE∴∠PEC＝∠BCP＝30°∴CEPC＝3∴BCACPC＝3PB=PA∠PBC=∠QAPBE=AC3、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB＝90°，求证：①PA＝PB②AC－BC＝2PC分析：要证明AC－BC＝2PC，可使用截长的方法，即在AC上截取AH＝BC，HC＝AC-BC，然后将HC与PC构建一个等腰直角三角形，且HC为斜边，PC为直角边。通过求解△APH≌△CBP。即可证明AC－BC＝2PC。证明：连接PA、PB，在AC上截取AH＝BC。∵CP平分∠ACQ,∠ACQ＝90°∴∠PCA＝∠QCP＝45°∵四边形APCB为圆的内接四边形∴∠PAB+∠PCB＝180°＝∠PCQ＝∠PCB∴PA＝PB∴PA＝PB∵PC＝PC∴∠CBP＝∠PAC在△APH与△CBP中∴△APH≌△CBP∴PH＝PC∵∠PCH＝45°又∵△PHC为等腰直角三角形∴AC－AH＝AC－CB＝HC＝2PC∴AC－BC＝2PCAH=CB∠CBP=∠PACAP=BP4、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB＝120°，求CACBCD的值。分析：要求CACBCD，我们的思路是将CB延长至并与CD构建在一个三角形内，然后解三角形并证明延长线与CA相等。我们将CB延长至H，作CH=CA+CB，然后将CH和CD构建在一个三角形内，即过点D作∠CDH＝60°延长CB，交DH于点H，即可证△CAD≌△HBD，再可求出CACBCD的值。解：过点D作∠CDH＝60°延长CB，交DH于点H，连接AD、BD，∵∠ADB＝CDH＝60°∴∠BDH＝∠ADC∵∠DCH＝60°＝∠H＝∠ACD∴DH＝DC在△CAD与△HBD中∴△CAD≌△HBD（ASA）∴CA＝BH∴CB+BA＝CD∴CACBCD＝15、如图，P是等边△ABC外接圆BC上任意一点，求证：PA＝PB+PC。分析：要证明PA＝PB+PC，可用截长的方法，即在PA上截取AG＝CP，然后证明PG=BP即可。证明：在AP上截取AG＝CP∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC∵BP＝BP∴∠BAG＝∠PCB在△ABG与△CBP中DH=DC∠BDH=∠APC∠H=∠ACD∴△ABG≌△CBP（SAS）∴BP＝BG，∠ABG＝∠PBC∴∠GBP＝60°，BP＝PG∴PA＝PB+PC6、如图，RT△ABC中，AD为斜边BC的高，P为AD的中点，BP交AC于N，NM⊥BC于M。求证：MN²＝A