圆周角综合练习题

第1页圆周角1．如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．52．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）A．B．C．D．3．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．（1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=，求AB的长．第2页4．如图，已知AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点E，交AD延长线于点B，过点A作AC⊥BC交⊙O于点G，交DE于点F．（1）求证：AD=AF；（2）若DE=2CF，试说明四边形OEFG为菱形．5．如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD=5，DB=7．（1）求BC的长；（2）求圆心到BC的距离．6．如图，点A、B、C是圆O上的三点，AB∥OC（1）求证：AC平分∠OAB；（2）过点O作OE⊥AB于E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，求圆O的半径OC及PE的长．第3页7．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦（不过圆心），AB⊥CD．（1）E是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CED=∠COB；（2）点E´在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CE´D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．8．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，⊙O经过点A和点B，与斜边BC交于点P（不与B、C重合），PE是⊙O的直径，连接AE，BE．（1）求证：AP=AE；（2）若PE=4，求PC2+PB2的值．第4页9．如图（1），BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，DB∥OA，BC=10，AC=6．（1）求证：BA平分∠DBC；（2）求DB的长；（3）如图（2），E是半圆CB的中点，连接AE，求AE的长．10．在⊙O中，AB是⊙O直径，AC是弦，∠BAC=50°．（Ⅰ）如图（1），D是AB上一点，AD=AC，延长CD交⊙O于点E，求∠CEO的大小；（Ⅱ）如图（2），D是AC延长线上一点，AD=AB，连接BD交⊙O于点E，求∠CEO的大小．第5页11．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．（1）如图1，MA=6，MB=8，∠NOB=60°，求NB的长；（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．12．如图，D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交△ABC三边于E、F、G三点，连接FE，FG．（1）求证：∠EFG=∠B；（2）若AC=2BC=4，D为AE的中点，求FG的长．第6页13．如图1，在△ABC中，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，且=．（1）求证：AB=AC．（2）若∠C=70°，求的度数．（3）如图2，点F在⊙O上，=，连结DF，DE．求证：∠ADF=∠CDE．14．如图1，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点E，过点D作DF⊥AB于点F．（1）求证：BC=2DF；（2）如图2，连接AE，过点C作AE的垂线交⊙O于点M，垂足为G，过点B作CM的垂线，垂足为H，若∠EAB+∠ODF=45°，AB=10，求弦CM的长．第7页15．如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B三点不在同一条直线上）．（1）若点P在⊙O上，⊙O的半径为1．①当∠APB=45°时，AB的长度为，②当AB=1时，∠APB=°；（2）若点P不在⊙O上，直线PA、PB交⊙O于点C、D（点C与点A、点D与点B均不重合），连接AD，设∠CAD=α，∠ADB=β，试用α、β表示∠APB（请直接写出答案，并画出示意图）．16．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．（3）求证：PA+PB=PC．第8页2018年10月19日546****0401的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2017秋•淅川县期末）如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理．菁优网版权所有【分析】根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断即可．【解答】解：∵AB=CD，∴=，∴=，∴∠AOC=∠BOD，故①正确；∵圆周角∠BAD和圆心角∠BOD都对着，∴∠BOD=2∠BAD，故②正确；∵=，∴AC=BD，故③正确；∵圆周角∠CAB和∠BDC都对着，第9页∴∠CAB=∠BDC，故④正确；延长DO交⊙O于M，连接AM，∵D、C、A、M四点共圆，∴∠CDO+∠CAM=180°，∵∠CAM＞∠CAO，∴∠CAO+∠CDO＜180°，故⑤错误；即正确的个数是4个，故选：C．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．2．（2018•瓯海区一模）如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）A．B．C．D．【考点】KX：三角形中位线定理；M5：圆周角定理．菁优网版权所有【分析】连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．首先求出AC的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题；【解答】解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．第10页∵∠AOC=2∠ABC=120°，∵OA=OC，OH⊥AC，∴∠COH=∠AOH=60°，CH=AH，∴CH=AH=OC•sin60°=，∴AC=2，∵CN=DN，DM=AM，∴MN=AC=，∵CP=PB，AN=DN，∴PN=BD，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，∴PM+MN的最大值为2+．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．二．解答题（共14小题）3．（2017秋•白云区期末）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．（1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=，求AB的长．第11页【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．菁优网版权所有【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BHD=90°，根据垂径定理得出即可；（2）根据垂径定理求出DH，根据勾股定理求出BH，根据勾股定理得出关于R的方程，求出R即可．【解答】（1）证明：∵∠B+∠D=90°，∴∠BHD=180°﹣90°=90°，即AB⊥CD，∵AB过O，∴CH=DH，即H是CD的中点；（2）解：连接OD，∵H为CD的中点，CD=2，AB过O，∴DH=CH=CD=，AB⊥CD，∴∠BHD=90°，由勾股定理得：BH===1，设⊙O的半径为R，则AB=2R，OB=OD=R，在Rt△OHD中，由勾股定理得：OH2+DH2=OD2，即（R﹣1）2+（）2=R2，解得：R=，∴AB=2×=3．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键．第12页4．（2018•商南县一模）如图，已知AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点E，交AD延长线于点B，过点A作AC⊥BC交⊙O于点G，交DE于点F．（1）求证：AD=AF；（2）若DE=2CF，试说明四边形OEFG为菱形．【考点】KQ：勾股定理；L9：菱形的判定；M5：圆周角定理．菁优网版权所有【分析】（1）连接OE，根据切线的性质和平行线的判定和性质证明即可；（2）连接OG，利用等边三角形的性质和菱形的判定解答即可．【解答】证明：（1）如图，连接OE，∵BC是⊙O的切线，OE是半径，∴OE⊥BC，∴∠BEO=90°，∵∠ACB=90°，∴OE∥AC，∴∠OED=∠F，∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∴∠ODE=∠F，∴AD=AF；第13页（2）连接OG，∵OE∥AF，OD=OA，∴DE=EF，∵DE=2CF，∴EF=2CF，∵∠ACB=90°，∴∠F=60°，∵AD=AF，∴△ADF是等边三角形，∵∠A=60°，∵OA=OG，∴∠OGA=60°，∴∠OGA=∠F，∴OG∥EF，∵OE∥AF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵OE=OG，∴平行四边形OEFG是菱形．【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据切线的性质和平行线的判定和性质解答．5．（2018•岐山县一模）如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD=5，DB=7．（1）求BC的长；（2）求圆心到BC的距离．第14页【考点】M5：圆周角定理；PB：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有【分析】（1）根据折叠的性质知：=；若连接CD、AC，则∠DBC+∠BCD=∠CAD，即∠CAD=∠CDA；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE=AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．（2）设圆心到BC的距离为h，利用勾股定理解答即可．【解答】解：（1）连接CA、CD；根据折叠的性质，得：=；∴∠CAB=∠CBD+∠BCD；∵∠CDA=∠CBD+∠BCD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∴∠CAD=∠CDA，即△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E，则AE=DE=2.5；∴BE=BD+DE=9.5；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2=BE•AB=9.5×12=114；故BC=．（2）设圆心到BC的距离为h，圆的半径为r=6，由（1）知，Rt△ECB中，BE=9.5，BC=，∴，∵，∴h=，故圆心到BC的距离为．【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．第15页6．（2018•思南县一模）如图，点A、B、C是圆O上的三点，AB∥OC（1）求证：AC平分∠OAB；（2）过点O作OE⊥AB于E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，求圆O的半径OC及PE的长．【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M5：圆周角定理．菁优网版权所有【分析】（1）用平行线及角平分线的性质证明AC平分∠OAB．（2）利用勾股定理解直角三角形即可．【解答】（1）证明：∵AB∥OC，∴∠C=∠BAC．∵OA=OC，∴∠C=∠OAC．∴∠BAC=∠OAC．即AC平分∠OAB．（2）∵OE⊥AB，∴AE=BE=AB=1．又∵∠AOE=30°，∠PEA=90°，∴∠OAE=60°．OA=2，∴∠EAP=∠OAE=30°，∴PE=AE×tan30°=1×=，即PE的长是．【点评】本题考查圆周角问题，关键是利用的是平行线，角平分线的性质结合直角三角形的性质利用勾股定理解答，有一定的综合性．第16页7．（2017秋•包河区期末）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦（不过圆心），AB⊥CD．（1）E是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CED=∠COB；（2）点E´在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CE´D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．菁优网版权所有【分析】（1）根据垂径定理知，=，推出∠COB=∠DOB=∠COD．又∠CED=∠COD，可得∠CED=∠COB；（2）根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°﹣∠CPD，而∠CPD=∠CO