圆锥曲线复习提纲-与重要题型

1圆锥曲线复习提纲一、知识归纳：名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆奎屯王新敞新疆即aMFMF221当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，当2a＝2c时，轨迹是一条线段21FF当2a﹤2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线.即当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a＝2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay常数cba,,的关系222bca，0ba，a最大，bcbcbc,,222bac，0acc最大，bababa,,渐近线焦点在x轴上时：0xyab焦点在y轴上时：0yxab1.椭圆的性质：椭圆方程)0(12222babyax（1）范围：byba,xa，椭圆落在bya，x组成的矩形中。（2）对称性：图象关于y轴对称，图象关于x轴对称，图象关于原点对称。（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点奎屯王新敞新疆椭圆共有四个顶点：)0,a(A),0,a(A21，)b,0(B),b,0(B21。21AA叫椭圆的长轴，长为2a，21BB叫椭圆的短轴，长为2b。（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。ace2)(1abe。（10e）e可以刻画椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆.(5)点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，则maxPFac，minPFac.2(6)点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，12FPF取最大值.(7)椭圆的第二定义：当平面内点M到一个定点(,0)(0)Fcc的距离和它到一条定直线l：2axc的距离的比是常数(01)ceea时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.2、点与椭圆位置关系点00(,)Pxy与椭圆22221(0)xyabab位置关系：（1）点00(,)Pxy在椭圆内2200221xyab（2）点00(,)Pxy在椭圆上2200221xyab（3）点00(,)Pxy在椭圆外2200221xyab3、直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法位置关系公共点判定方法相交有两个公共点0直线与椭圆方程首先应消去一个未知数得一元二次方程的根的判别式相切有且只有一个公共点0相离无公共点0（2）弦长公式：设直线ykxb交椭圆于111222(,),(,)PxyPxy则21212||1PPkxx，或121221||1PPyyk(0)k4、双曲线的几何性质：（1）顶点顶点：0,),0,(21aAaA，特殊点：bBbB,0),,0(21实轴：21AA长为2a，a叫做实半轴长。虚轴：21BB长为2b，b叫做虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。（2）渐近线双曲线12222byax的渐近线xaby（0byax）（3）离心率双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的离心率奎屯王新敞新疆范围：e1（4）等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线的性质：a、渐近线方程为：xy；3b、渐近线互相垂直；c、离心率2e。（5）共渐近线的双曲线系：如果已知一双曲线的渐近线方程为xaby，那么此双曲线方程写成2222byax。（6）共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。（7）.直线与双曲线位置关系同椭圆.特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.抛物线：图象方程)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx焦点)0,2(p)0,2(p)2,0(p)2,0(p准线2px2px2py2py抛物线的几何性质（1）顶点：抛物线022ppxy的顶点就是坐标原点。（2）离心率：抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e＝1。（3）p的几何意义：p表示焦点到准线的距离.2p表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.（4）若点00(,)Mxy是抛物线22(0)ypxp上任意一点，则02pMFx.(5)若过焦点的直线交抛物线22(0)ypxp于11(,)Axy、22(,)Bxy两点，则弦长12ABxxp二．重点题型1.圆锥曲线的定义：（1）已知定点)0,3(),0,3(21FF，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（）A．421PFPFB．621PFPFC．1021PFPFD．122221PFPF4（2）方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_____（3）已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为____（2）若Ryx,，且62322yx，则yx的最大值是____，22yx的最小值是（3）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_______（4）设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C过点)10,4(P，则C的方程为_______3.圆锥曲线的几何性质：（1）若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是__（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（3）双曲线的渐近线方程是023yx，则该双曲线的离心率等于______（4）双曲线221axby的离心率为5，则:ab=（5）设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（6）设Raa,0，则抛物线24axy的焦点坐标为________4．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（2）直线y―kx―1=0与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是_______（3）过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（4）过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有______（5）过点(0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（6）过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB4，则满足条件的直线l有____条（7）对于抛物线C：xy42，我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的内部，若点),(00yxM在抛物线的内部，则直线l：)(200xxyy与抛物线C的位置关系是______（8）过抛物线xy42的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则qp11_______5（9）设双曲线191622yx的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于RQP,,，则PFR和QFR的大小关系为___________（10）求椭圆284722yx上的点到直线01623yx的最短距离（11）直线1axy与双曲线1322yx交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？5、焦半径（1）已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（2）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____（3）抛物线xy22上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______6、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。（1）短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F，过1F作直线交椭圆于A、B两点，则2ABF的周长为________（2）设P是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点，F1、F2是左右焦点，若0212FFPF，|PF1|=6，则该双曲线的方程为（3）椭圆22194xy的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF2→·PF1→0时，点P的横坐标的取值范围是（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝26，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是2AF与2BF等差中项，则AB＝__________（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且6021PFF，31221FPFS．求该双曲线的标准方程7、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质、弦长公式：（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（2）过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______8、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。（1）如果椭圆221369xy弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（2）试确定m的取值范围，使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy4对称9．动点轨迹方程：（1）(待定系数法)线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）)0(m，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（2）（直接法）已知动点P到定点F(1,0)和直线3x的距离之和等于4，求P的轨迹方程．6（3）（定义法）由动点P向圆221xy作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为（4）点M与点F(4,0)的距离比它到直线05xl：的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______(5)一动圆与两圆⊙M：122yx和⊙N：012822xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为（6）（参数法）动点P是抛物线122xy上任一点，定点为)1,0(A,点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（7）若点),(11yxP在圆122yx上运动，则点),(1111yxyxQ的轨迹方程是____（8）过抛物线yx42的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________参考答案：1.圆锥曲线的定义：(1)C(2)双曲线的左支(3)22.圆锥曲线的标准方程(1)11(3,)(,2)22）(2)5,2(3)2214xy(4)226xy3.圆锥曲线的几何性质：(1)3或325(2)22(3)132或133）；(4)4或14(5)[,]32(6))161,0(a4．直线与圆锥曲线的位置关系：(1)(-315,-1)(2)[1，5）∪（5，+∞）(3)3(4)2(5)445,33(6)3(7)相离(8)1(9)等于(10)81313（11）①3,3；②1a）5．焦半径（1）7（2）(2,4)（3）26．焦点三角形（1）6（2）224xy（3）3535(,)55（4）82（5）2