数列求和及求通项方法总结

数列求和及求通项一、数列求和的常用方法1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n项和，均可用错位相减法例：已知数列1312nnna，求前n项和nS3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项①形如)(1knnan，可裂项成)11(1knnkan，列出前n项求和消去一些项②形如knnan1，可裂项成)(1nknkan，列出前n项求和消去一些项例：已知数列1)2()1)(1(11annnan，，求前n项和nS4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。例：已知数列122nann，求前n项和nS5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）一、数列求通项公式的常见方法有：1、关系法2、累加法3、累乘法4、待定系数法5、逐差法6、对数变换法7、倒数变换法8、换元法9、数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。二、方法剖析1、关系法：适用于)(nfsn型求解过程：)2()1(111nssnsaannn例：已知数列na的前n项和为12nnSn，求数列na的通项公式2、累加法：适用于)(1nfaann——广义上的等差数列求解过程：若)(1nfaann则)1(12faa)2(23faa)1(1nfaann所有等式两边分别相加得：111)(nknkfaa则111)(nknkfaa例：已知数列na满足递推式)2(121nnaann，的通项公式，求naa11......累加3、累乘法：适用于nnanfa)(1——广义上的等比数列求解过程：若nnanfa)(1，则)(1nfaann则)1()......2()1(12312nfaafaafaann，所有等式两边分别相乘得：111)(nknkfaa则111)(nknkfaa例：已知数列na满足递推式)2(21naannn，其中的通项公式，求naa314、待定系数法：适用于)(1nfpaann①形如)1,0,;,(1pbpbpbpaann为常数型（还可用逐差法）求解过程：构造数列)(1kapkann，展开得kpkpaann1，因为系数相等，所以解方程bkpk得1pbk，所以有：)1(11pbappbann，这样就构造出了一个以11pba为首项，公比为p的等比数列1pban。从而求得na的通项公式为1)1(11pbppbaann例：已知数列na满足递推式)2(121naann，其中的通项公式求naa,21②形如)1,0,;,,(1pbpcbpcbnpaann为常数型③形如)1,0,;,,,(21pbpdcbpdcnbnpaann为常数型④形如)1,;0,,;,,,(1qpqpmdqpmdqmpaannn为常数型⑤形如)1,;0,;,(12qpqpqpqapaannn为常数型5、逐差法：形如)1,0,,,(1pbpbpbpaann为常数，可以把n换成1n有bpaann1，两式相减得)(11nnnnaapaa，这样就构造出了一个以12aa为首项，公比为p的等比数列nnaa1，再运用累加法求出na的通项公式例：已知数列na满足递推式)2(121naann，其中的通项公式求naa,216、对数变换法：适用于)1(1qpaaqnn型求解过程：①当1p时，)1(1qaaqnn，等式两边取对数有：)ln()ln(1qnnaa，根据对数的运算法则有：)ln()ln(1nnaqa，这样就构造了一个以)ln(1a为首项，公比为q的等比数列)ln(na。从而求得na的通项公式为11nqnaa例：已知数列na满足递推式21nnaa，21a，求数列na的通项公式②当1p时，)1(1qpaaqnn，等式两边取对数有：)ln()ln(1qnnpaa，根据对数的运算法则有：)ln(ln)ln(1nnaqpa，再运用待定系数法求出通项。例：已知数列na满足递推式312nnaa，21a，求数列na的通项公式7、倒数变换法：适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例：已知数列na满足递推式421nnnaaa，21a，求数列na的通项公式8、换元法：适用于含根式的递推公式例：已知数列na满足递推式nnnaaa1211，21a，求数列na的通项公式9、数学归纳法：通过首项和递推关系求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明例：已知数列na满足递推式98)32()12()1(8121annnaann，，求数列na的通项公式综合练习：1、已知数列na满足递推式)2(121naann，其中154a（1）求1a，2a，3a；（2）求数列na的通项公式；（3）求数列na的前n项和nS；变式：①若)2(21nnaann？②若)2(221nnaann？③若)2(23221naannn？思考：若)2(231nnaann？2、设在数列na中，21a，nnnaaa2221，求数列na的通项公式；3、数列na的前n项和为nS，1a=1，)(21NnSann（1）求数列na的通项公式；（2）求数列nna的前n项和nT；4、已知nS是数列na的前n项和，231a，22a，),2(012311NnnSSSnnn。（1）求证1na时等比数列；（2）求数列na的前n项和nS；5、已知11a，)2(111nnaaannn，求na的通项公式及前n项和nS6、已知数列na满足31a，21211naaannn（1）求2a，3a，4a；（2）求数列na的通项公式；