数列的通项公式与求和的常见方法

常见数列通项公式的求法类型一：公式法1（或定义法）1()nnaapp为常数1()nnaqqa为非零常数例1.已知数列{}na满足11a，12nnaa*()nN，求数列{}na的通项公式。例2.已知数列{}na满足12a，13nnaa*()nN，求数列{}na的通项公式。变式练习：1.已知数列{}na满足12a，110nnaa*()nN，求数列{}na的通项公式。2.已知数列{}na满足16a，13nnaa*()nN，求数列{}na的通项公式。3.已知数列{}na满足11a，212a，11112nnnaaa(2)n，求数列{}na的通项公式。4.已知数列{}na满足11a，13nnaa*()nN，求数列{}na的通项公式。类型二：（累加法）)(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解例：已知数列{}na满足121nnaan*()nN，11a，求数列{}na的通项公式。变式练习：1.已知数列na满足211a，naann21，*()nN求数列{}na的通项公式。2.已知数列na满足11a，11(1)nnaann，(2)n，求数列{}na的通项公式。3.已知数列{}na满足1231nnnaa，*()nN，13a，求数列{}na的通项公式。4.已知数列na中，12a，11ln(1)nnaan，求数列{}na的通项公式。类型三：（叠乘法）nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解例：在数列{}na中，已知11a，1(1)nnnana，(2)n，求数列{}na的通项公式。变式练习：1.已知数列na满足321a，nnanna11，*()nN，求数列{}na的通项公式。2.已知31a，nnanna23131)1(n，求数列{}na的通项公式。3.已知数列{}na满足125nnnaa*()nN，13a，求数列{}na的通项公式。类型四：递推公式为nS与na的关系式()nnSfa解法：这种类型一般利用)2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。例.已知数列{}na的前n项和为nS，12a且12nnSa(2)n．求数列{}na的通项公式。1.已知数列{}na的前n项和为nS，42nnSa，求数列{}na的通项公式。2.已知数列{}na的前n项和为nS，251nSnn求数列{}na的通项公式。3.已知数列{}na的前n项和为nS，23nnS，求数列{}na的通项公式。类型五：待定系数法qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）解法：构造新数列nb；paann1解出，可得数列nnab为等比数列例：已知数列na中，11a，121nnaa，求数列{}na的通项公式。变式练习：1.已知数列{}na满足13a，121nnaa*()nN，求数列{}na的通项公式。2.已知数列na中，11a，6431nnaa，求数列{}na的通项公式。3.已知数列{}na的前n项和为nS，且232nnSan*()nN．求数列{}na的通项公式。类型六：交叉项问题解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数列。例：已知数列{}na满足11a，122nnnaaa*()nN，求数列{}na的通项公式。变式练习：1.已知数列{}na满足11a，1(1)nnnana(1)nn，*()nN，求数列{}na的通项公式。2.已知首项都为1的两个数列{}na、{}nb（0nb*nN），满足11120nnnnnnababbb，令nnnacb求数列{}nc的通项公式。类型七：（公式法2）（nnnppaa1）p0;解法：将其变形为ppapannnn11，即数列nnpa为以p为公差的等差数列；例.已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。变式练习：1.已知数列{}na满足1155nnnaa，11a，求数列{}na的通项公式2.已知数列{}na满足nnnaa3431，11a，求数列{}na的通项公式。数列求和的常用方法类型一：公式法例.已知3log1log23x，求32xxxnx的前n项和.变式练习1.数列}{na中，12nan,求nS.2.等比数列}{na的前n项和12nnS,求2232221naaaa.类型二：分组求和法例.求数列的前n项和：2321,,721,421,1112nn，…变式练习1.已知数列}{na中，nnna32，求nS.2.已知数列}{na中，nnna21)12(，求nS.类型三：倒序相加法例.求88sin3sin2sin1sin222289sin2的值.1.已知xxf11)(，求)3()2()1(fff)20161()31()21()2016(ffff类型四：错位相减法：例.数列}{na中，12)12(nnna，求nS.变式练习1.求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.2.数列}{na的前n项和为22nSn，}{nb为等比数列，且.)(,112211baabba（1）求数列}{na和}{nb的通项公式；（2）设nnnbac，求数列}{nc的前n项和nT.类型五：裂项相消法111)1(1.1nnnn)11(1)(1.2knnkknnnnnn111.3例.已知数列}{na中，)2(1nnan，求nS.1.求数列11,,321,211nn的前n项和.2.在数列}{na中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列}{nb的前n项的和.3.求和n321132112111求数列的通项与求和作业1.已知数列}{na的首项11a（1）若12nnaa，则na__________；（2）若12nnaa，则na_________（3）若11nnaan，则na__________；（4）若12nnnaa，则na_______（5）若1)1(nnanna，则na__________；（6）若)2(231naann，则na__________；（7）若11nnnaaa，则na__________。2.3.24.5.等比数列的前n项和12nnS，求6.求和：7.求和：8.设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab的前n项和nS．9.已知数列}{na的前n项和为nS，且对任意正整数n都有2(2)1nnSna．（1）求数列}{na的通项公式；（2）设13242111nnnTaaaaaa，求nT．11211{},,.2nnnnaaaaann已知数列满足求112{},,,.31nnnnnaaaaan已知数列满足求111{}:1,{}.31nnnnnaaaaaa已知数列满足，求数列的通项公式{}na2232221naaaa1111447(32)(31)nn111112123123n