河北省承德市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质学案含解析

1椭圆的简单几何性质学习目标1.理解椭圆的简单几何性质．2.利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题．重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．难点：椭圆的几何性质的实际应用．方法：自主学习合作探究师生互动一新知导学1．观察椭圆的图形可以发现，椭圆是______对称图形，也是______对称图形．椭圆的对称中心叫做椭圆的______．2．如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)与它的对称轴共有四个交点，即A1、A2和B1、B2，这四个点叫做椭圆的______，线段A1A2叫做椭圆的______，它的长等于______；线段B1B2叫做椭圆的______，它的长等于______.显然，椭圆的两个焦点在它的______上．3．椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的__________．4．依据椭圆的几何性质填写下表：标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2b2＋y2a2＝1(ab0)图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2b2＋y2a2＝1(ab0)焦点____________________________________焦距|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)范围____________________________________对称性关于________________对称顶点____________________________轴长轴长__________，短轴长__________性质离心率e＝__________(0e1)5.离心率对椭圆扁圆程度的影响在Rt△BF2O中，e＝ca＝cos∠BF2O则0e1，e越大，∠BF2O越，椭圆越；e越小，∠BF2O越，椭圆越．课堂随笔:26.根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如____________、_______、________；一类是与坐标系有关的性质，如______、______．牛刀小试11．(2015·陕西师大附中期中考试)点（2,3）在椭圆y2a2＋x2b2＝1上，则（）A．点（－2,3）不在椭圆上B．点（－2，－3）不在椭圆上C．点（2，－3）在椭圆上D．无法判断点（－2,3）（－2，－3）（2，－3）是否在椭圆上2．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k的值为()A．－1B．1C．5D．－53．已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且△PF1F2为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则椭圆的方程为____________.4．求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．题型（一）根据椭圆的方程研究几何性质【例一】求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．跟踪训练1已知两椭圆x225＋y29＝1与x29－k＋y225－k＝1(0k9)，下列说法正确的是______.①有相等的长轴；②有相等的短轴；③有相同的焦点；④有相等的焦距．3题型（二）利用椭圆的几何性质求标准方程【例二】求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝63；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.跟踪训练2已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为__________.题型（三）求椭圆的离心率【例三】A为y轴上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．跟踪训练3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A．45B．35C．25D．15后记与感悟:4题型（四）直线与椭圆的位置关系【例四】若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，求m的取值范围．跟踪训练4.1）已知斜率为1的直线l经过椭圆x2＋4y2＝4的右焦点交椭圆于A，B两点，求弦长|AB|.2）已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝32，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程．课时小结：5课时作业一、选择题1．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4B．5C．7D．82．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为()A．12B．13C．14D．223．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是()A．x225＋y220＝1B．x220＋y225＝1C．x220＋y245＝1D．x280＋y285＝14.如图，经过点P1，P2，P3且有相同对称轴的三个椭圆的离心率依次为e1，e2，e3，则()A．e3e1e2B．e1e2e3C．e3e2e1D．e2e1e35．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍则m的值为()A．14B．12C．2D．46．已知焦点在y轴上的椭圆x2m＋y2＝1，其离心率为32，则实数m的值是()A．4B．14C．4或14D．127．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，求此椭圆标准方程.68．已知F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e＝32，求椭圆的方程．【答案】牛刀小试1CBx212＋y29＝14.将9x2＋y2＝81化为标准方程x232＋y292＝1，∴椭圆长轴在y轴上，其中a＝9，b＝3，c＝62，∴长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，焦点坐标为F1(0，－62)、F2(0,62)，顶点坐标为A1(－3,0)、A2(3,0)、B1(0，－9)、B2(0,9)．离心率为e＝ca＝223.例一解析：把已知方程化成标准方程x216＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝ca＝74，两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)跟踪训练1.④例二：1）椭圆方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝12）x232＋y216＝1跟踪训练2.x236＋y29＝1例三：e＝3－1跟踪训练3B7例四1≤m5跟踪训练4.1）|AB|＝2|x2－x1|＝85.2）x240＋y210＝1或y225＋4x225＝1课时作业：[答案]DABAAB7.x281＋y272＝1或x272＋y281＝18.x216＋y24＝1