初中数学【8年级上】4.等腰三角形中辅助线的作法

初中数学知识点精讲课程.youyi100.com优翼微课等腰三角形中辅助线的作法⑴等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线互相重合，我们将等腰三角形这一性质称之为“三线合一”，“三线合一”适用于等腰三角形问题，用其可以解决同一三角形内部的边角问题.典例精解类型一：利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)如图，已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AD于D，CD＝12BC，D在△ABC外，求证：∠ACD＝∠B.DBCAEDBCAE证明：过点A作AE⊥BC于点E∵AB＝AC∴BE＝12BC而CD＝12BC∴BE＝CD又∵CD⊥AD，AE⊥BC∴△ACD和△ABE均为直角三角形在Rt△ACD和Rt△ABE中BE=CDAB=AC∴Rt△ACD≌Rt△ABE(HL)∴∠ACD＝∠B如图，已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AD于D，CD＝12BC，D在△ABC外，求证：∠ACD＝∠B.典例精解DACBE⑴在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝CD二、构造等腰三角形DACBE⑴在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝CD证明：在DC上截取DE＝DB∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADE又∵AD＝AD∴△ADB≌△ADE(SAS)∴AB＝AE，∠ABD＝∠AED∵∠B＝2∠C∴∠AED＝2∠C又∵∠AED＝∠C＋∠EAC∴∠C＝∠EAC∴AE＝CE∴AB＋BD＝AE＋DE＝CE＋DE＝CD.变式题⑵在⑴中如果条件∠B＝2∠C与结论AB＋BD＝CD互换，仍然成立吗？试说明理由.DACBE解：仍然成立，理由如下：在DC上截取DE＝DB∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADE又∵AD＝AD∴△ADB≌△ADE(SAS)∴AB＝AE，∠B＝∠AED∵AB＋BD＝CD∴AE＋DE＝CD而CE＋DE＝CD∴AE＝CE∴∠EAC＝∠C而∠AED＝∠EAC＋∠C∴∠AED＝2∠C∴∠B＝2∠C课堂小结在等腰三角形中，如遇等边或等角，可以考虑作底边上的高线，运用“三线合一”性质解题；如遇垂直平分，可以考虑构造等腰三角形解题.初中数学知识点精讲课程.youyi100.com优翼微课等腰三角形中辅助线的作法⑵等腰直角三角形和等边三角形是特殊的等腰三角形，它们除具有等腰三角形的所有性质外，还有自身独特的性质，因而在解题中，可以充分利用它们独特性质构造全等的三角形，以突破解题的难点.典例精解类型二：巧用等腰直角三角形构造全等如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC.(1)点求C的坐标；(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值.xyCBAO图2图1xyEDPAOxyCBAO如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC.(1)点求C的坐标；解:(1)如图1，过C作CM⊥x轴于M点，∵∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，则∠MAC=∠OBA，又∠CMA=∠AOB=90°，AC=AB,∴△MAC≌△OBA(AAS),∴CM=OA=2，MA=OB=4，∴OM=OA+AM=2+4=6,∴点C的坐标为(-6，-2).M图1解:(2)如图2，过点D作DQ⊥OP于Q点，则DE=OQ,∴OP-DE=OP-OQ=PQ,∵∠APO+∠QPD=90°，∠APO+∠OAP=90°，∴∠QPD=∠OAP,又∠AOP=∠PQD=90°，AP=PD，∴△AOP≌△PQD(AAS),∴PQ=OA=2.即OP-DE=2.(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值.Q图2xyEDPAO典例精解类型三：等腰(边)三角形中截长补短构造全等或等边三角形如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于M、N两点，连结MN，求证：MN＝BM＋CN.MDABCN54321MDABCN如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于M、N两点，连结MN，求证：MN＝BM＋CN证明：延长MB至点E使BE＝CN①∵∠BDC＝120°，DB＝DC②∴∠2＝∠3＝30°∵△ABC是正三角形∴∠1＝60°,∠ABD＝90°同理∠ACD＝90°∴∠DBE＝∠DCN＝90°③由①②③得△DCN≌△DBE∴DN＝DE④，∠3＝∠6∵∠4＝60°，∠BDC＝120°∴∠5＋∠3＝60°∴∠MDE＝∠5＋∠6＝60°∴∠MDE＝∠4⑤DM＝DM⑥由④⑤⑥得△MED≌△MND∴MN＝ME＝MB＋EB＝MB＋CN6E课堂小结遇等腰直角三角形时，通常结合腰相等和锐角互余来添加辅助线、构造全等三角形；如遇等边三角形，通常以某条线段为边构造一个合适的等边三角形，同时构造全等三角形.