初中数学【8年级下】解题技巧专题：特殊平行四边形中的定值、最值问题

1．(2020·南充中考)如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为(B)A.14SB.18SC.112SD.116S2．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是(C)A．4B．2C．1D.123．如图，正方形ABCD的边长为8，E为AB上一点．若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF＋EG＝(D)A．4B．8C．82D．42【变式题】正方形→菱形→矩形(1)如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF＝(B)A．6B．3C．1.5D．0.75(2)(2020·太湖县期末)如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为.120174．(2020·东台市期中)如图，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，R在CD边上，且CR＝2，P为BC上一动点，E、F分别是AP、RP的中点，当P从B向C移动时，线段EF的长度为.3725．如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.如图①，当点P为线段EC中点时，易证得PR＋PQ＝125.(1)如图②，当点P为线段EC上的任意一点(不与点E、点C重合)时，其他条件不变，则PR＋PQ＝125是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；解：(1)图②中结论PR＋PQ＝125仍然成立．证明如下：如图②，连接BP，过C点作CK⊥BD于点K.∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°.又∵CD＝AB＝3，BC＝4，∴BD＝CD2＋BC2＝32＋42＝5.∵S△BCD＝12BC·CD＝12BD·CK，∴3×4＝5CK，∴CK＝125.∵S△BCE＝12BE·CK，S△BEP＝12PR·BE，S△BCP＝12PQ·BC，且S△BCE＝S△BEP＋S△BCP，∴12BE·CK＝12PR·BE＋12PQ·BC.又∵BE＝BC，∴CK＝PR＋PQ.∴PR＋PQ＝125.(2)如图③，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．(2)PR－PQ＝125.解析：如图③，过C作CF⊥BD于F，作CM⊥PR于M，连接BP，同(1)可知CF＝125.∵S△BPE－S△BCP＝S△BEC，即12BE·PR－12BC·PQ＝12BE·CF，且BE＝BC，∴PR－PQ＝CF＝125.6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1.若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是(D)A．3B．4C．5D．67．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1.运动过程中，点D到点O的最大距离为(A)A.2＋1B.5C.1455D.52解析：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD.∵OD≤OE＋DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大．∵∠AOB＝90°，AB＝2，BC＝1，∴OE＝AE＝AD＝1.在Rt△DAE中，DE＝AD2＋AE2＝12＋12＝2，∴OD的最大值为2＋1.故选A.8．如图，在矩形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在处．AD的中点9．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，且M为BC的中点，P是对角线BD上的一动点，则PM＋PC的最小值为.2310．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H是CD的中点，连接GH.若GH的最小值是1，则正方形ABCD的边长为.2211．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于O，点E、F分别在边AB、BC上，且BE＝BF，射线EO、FO分别交边CD、AD于G、H.(1)求证：四边形EFGH为矩形；(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AD∥BC.∴∠BAO＝∠DCO.又∵∠AOE＝∠COG，∴△AOE≌△COG(ASA)．∴OE＝OG.同理得OH＝OF.∴四边形EFGH是平行四边形．∵BE＝BF，∠ABD＝∠CBD，OB＝OB，∴△EBO≌△FBO(SAS)．∴OE＝OF.∴EG＝FH.∴四边形EFGH是矩形．(2)若OA＝4，OB＝3，求EG的最小值．(2)解：∵垂线段最短，∴当OE⊥AB时，OE最小．∵OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，∴AB2＝OA2＋OB2＝25，∴AB＝5.∴S△AOB＝12OA·OB＝12AB·OE，即3×4＝5·OE，解得OE＝125.∵OE＝OG，∴EG＝245，即EG的最小值是245.12．如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，点E在AB上运动，点F在BC上运动(E，F两点可以和菱形的顶点重合)，且EF＝4，点N是线段EF的中点，ME⊥AC，垂足为M，求MN的最小值．(提示：延长EM交AD于点K，连接FK，通过构造中位线进行转化)解：如图，延长EM交AD于K，连接FK，BD.∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC.∵EM⊥AC，易证△AEM≌△AKM，∴EM＝KM.又∵EN＝NF，∴MN＝12KF.当KF⊥AD时，KF的值最小．∵∠BAD＝60°，AB＝AD＝8，∴△ABD为等边三角形．易得S△ABD＝12×8×43＝163.∵S菱形ABCD＝2S△ABD＝AD·FK，∴2×163＝8×FK，解得FK＝43.∴MN的最小值为12KF＝23.