解析几何经典大题汇编

高考数学复习1OMPFxy解析几何解答题选1:如图,F为双曲线)0,0(1:2222babyaxC的右焦点,P为双曲线C在第一象限内的一点,M为左准线上一点,O为坐标原点,,OFMP.OFPF（Ⅰ）推导双曲线C的离心率e与的关系式；（Ⅱ）当1时,经过点)0,1(且斜率为a的直线交双曲线于BA,两点,交y轴于点D,且DADB)23(，求双曲线的方程.【答案】解：(Ⅰ),OFMPOFPM为平行四边形.设l是双曲线的右准线,且与PM交于N点,cOF,PNePF,,,PMOFOFPF).(MNPMePNeOF即.02).2(22eecacec………………6分（Ⅱ）当1时,得.3,2,2abace所以可设双曲线的方程是132222ayax,…8分设直线AB的方程是),1(xay与双曲线方程联立得:.042)3(2222axaxa由0)3(164224aaa得20a..34,32),,(),,(222122212211aaxxaaxxyxByxA则设①[来源:学科网ZXXK]由已知，),0(aD，因为DADB)23(，所以可得.)23(21xx②…………10分由①②得34)23(,32)13(2222222aaxaax，消去2x得,22a符合0，所以双曲线的方程是16222yx………………14分2.已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率22e，椭圆上的点到焦点的最短距离为212,直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且高考数学复习2PB3AP.（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围．【答案】解：（1）设C：y2a2＋x2b2＝1（ab0），设c0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝22，ca＝22，∴a＝1，b＝c＝22故C的方程为：y2＋x212＝1（2）当直线斜率不存在时：12m…………5分当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）2221ykxmxy得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0………6分Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）0（*）…7分x1＋x2＝－2kmk2＋2，x1x2＝m2－1k2＋2………8分∵AP＝3∴－x1＝3x2∴122212223xxxxxx消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2＝0………9分整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0m2＝14时，上式不成立；m2≠14时，k2＝2－2m24m2－1，………10分∴k2＝2－2m24m2－10，∴211m或121m把k2＝2－2m24m2－1代入（*）得211m或121m∴211m或121m…………11分综上m的取值范围为211m或121m………………12分3.已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线245yx的焦点，离心率是63高考数学复习3（1）求椭圆E的方程；（2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使MBMA为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且6305,5,33acea又22bac故1055,33故所求方程为221,553xy即5322yx………3分（2）假设存在点M符合题意，设AB：),1(xky代入53:22yxE得：0536)13(2222kxkxk………………4分)0,(),,(),,(2211mMyxByxA设则1353,13622212221kkxxkkxx………6分22221211(1)()()MAMBkxxkmxxkm221614233(31)mmmk分要使上式与K无关，则有6140,m，解得73m，存在点)0,37(M满足题意。3.已知曲线C上的动点P到点)0,2(F的距离比它到直线1x的距离大1.（I）求曲线C的方程；（II）过点)0,2(F且倾斜角为)20(的直线与曲线C交于BA,两点，线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明：2cos||||FPFP为定值，并求出此定值.【答案】解:（I）设动点),(yxP，动点P到点)0,2(F的距离比它到直线1x的距离多1。即动点P到点)0,2(F的距离等于它到直线2x的距离则|2|)2(22xyx两边平方222)2()2(xyx化简可得：xy82（II）如图,作lBDlAC,设A,B的横坐标分别为BAxx,则2||||pxACFAA4cos||22cos||FAppFAABmxyPFBCD高考数学复习4解得cos14||FA同理cos||4||FBFB解得cos14||FB记m与AB的交点为E||||||AEFAFE||21||ABFA)cos14cos14(212sincos42sin4cos||||FEFP故8)2cos1(sin42cos||||2FPFP4.如图，斜率为1的直线l过抛物线2:2(0)ypxp的焦点F，与抛物线交于两点A，B。（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；（2）设P是抛物线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）。【答案】解：设),,(),,(2211yxByxA（1）由条件知直线.2:pxyl．……1分由pxypxy2,22消去y，得.04322ppxx…………2分由题意，判别式.044)3(22pp（不写，不扣分）由韦达定理，.4,322121pxxpxx．……………………………3分由抛物线的定义，.43)2()2(||21ppppxpxAB从而.42,84pp所求抛物的方程为.42xy．…………………6分（2），易得.2,21221pyypyy．……………………………7分设),(00yxP。将pyxpyx2,2211200代入直线PA的方程),(001010xxxxyyyy高考数学复习5得).(2:0010xxyypyyPA．……………………………9分[来源:学科网ZXXK]同理直线PB的方程为)(20020xxyypyy．………………10分将2px代入直线PA，PB的方程得.,0222001210yypyyyyypyyyNM．……………………………12分5.已知点21,FF分别为椭圆)0(1:2222babyaxC的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点2F的距离的最大值为12，且21FPF的最大面积为1（1）求椭圆C的方程。（2）点M的坐标为)0,45(，过点2F且斜率为k的直线L与椭圆C相交于BA,两点。对于任意的MBMARk,是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。【答案解：⑴由题意可知：a+c=2+1，12×2c×b=1,有∵a2=b2+c2[来源:学科网ZXXK]∴a2=2,b2=1,c2=1∴所求椭圆的方程为：2212xy⑵设直线l的方程为：y=k（x-1）A(x1，y1),B(x2，y2)，M(54,0)[来源:学科网ZXXK]联立222222112-42-202y=kx-1 xyykxkxk消去得：（）则2122212241222120kxxkkxxk∵高考数学复习6112212121212125555(,)(,)(()4444525=-()++416MAxyMBxyMAMBxxyyxxxxyy）7=-167,=-16xRMAMB对任意有为定值.6.已知点21,FF分别为椭圆)0(1:2222babyaxC的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点2F的距离的最大值为12，且21FPF的最大面积为1.（I）求椭圆C的方程。（II）点M的坐标为)0,45(，过点2F且斜率为k的直线L与椭圆C相交于BA,两点。对于任意的MBMARk,是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。【答案解：(I)由题意可知：a+c=2+1，12×2c×b=1,有∵a2=b2+c2∴a2=2,b2=1,c2=1∴所求椭圆的方程为：2212xy…………….4分（II）设直线l的方程为：y=k（x-1）A(x1，y1),B(x2，y2)，M(54,0)联立222222112-42-202y=kx-1 xyykxkxk消去得：（）则2122212241222120kxxkkxxk高考数学复习7112212121212125555(,)(,)(()4444525=-()++416MAxyMBxyMAMBxxyyxxxxyy）7=-167,=-16xRMAMB对任意有为定值................12分7.已知函数221yaxax的定义域为R，解关于x的不等式220xxaa.【答案】解：因为函数221yaxax的定义域为R，所以2210axax恒成立…………………………………………………2分当0a时，10恒成立,满足题意，…………………………………………3分当0a时，为满足必有0a且2440aa，解得01a，综上可知：a的取值范围是01a……………………………………………6分原不等式可化为10xaxa当102a时，不等式的解为：xa，或1xa……………………………8分当12a时，不等式的解为：12x…………………………………………9分当112a时，不等式的解为：1xa，或xa…………………………11分综上，当102a时，不等式的解集为：{xxa或1}xa当12a时，不等式的解集为：1{}2xx当112a时，不等式的解集为：{1xxa或}xa………………………12分8.设椭圆E：)0(12222babxay的上焦点是1F，过点P（3，4）和1F作直线P1F交椭圆于A、B两点，已知A(34,31).(1)求椭圆E的方程；(2)设点C是椭圆E上到直线P1F距离最远的点，求C点的坐标。【答案】解：（1）由A（34,31）和P（3，4）可求直线1PF的方程为：y=x+1……………1分令x=0，得y=1,即c=1……………2分椭圆E的焦点为)1,0(1F、)1,0(2F，由椭圆的定义可知高考数学复习822)134()31()134()31(||||2222221AFAFa…………………4分∴1,2ba……………5分椭圆E的方程为1222xy…………6分B．设与直线1PF平行的直线l:mxy…………………7分mxyxy1222，消去y得022322mmxx……………8分0)2(34)2(22mm，即3,32mm…………9分要使点C到直线1PF的距离最远，则直线L要在直线1PF的下方，所以3m…10分此时直线l与椭圆E的切点坐标为)332,33(，故C（)332,33(为所求。……12分9.已知抛物线)0(22ppxy的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限。（1）求证：以线段FA为直径为圆与Y轴相切；（2）若12