初中数学【8年级下】综合滚动练习：特殊平行四边形的性质与判定

一、选择题(每小题4分，共32分)1．(2020·怀化中考)在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O.若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为(C)A．4B．6C．8D．102．要使菱形ABCD成为正方形，需要添加的条件是(D)A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD3．(2020·安顺中考)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是(B)A．5B．20C．24D．324．(2020·眉山中考)下列说法正确的是(B)A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(C)A．14B．15C．16D．176．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD边的中点．若OM＝3，BC＝8，则OB的长为(A)A．5B．6C．8D．107．(2020·宁夏中考)如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长为(B)A．13B．10C．12D．58．(2020·泰安中考)如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是(D)A．1B．2C．3D．4解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC.∴∠DAN＝∠BCM.∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC.∴∠DNA＝∠BMC＝90°.在△DNA和△BMC中，∠DAN＝∠BCM，∠DNA＝∠BMC，AD＝CB，∴△ADE≌△CBF(ASA)．∴AE＝FC，DE＝BF.故③正确．∴DE－DN＝BF－BM，即NE＝MF.∵DE∥BF，∴四边形NEMF是平行四边形．∴EM∥FN.故②正确．∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF.∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．当AO＝AD时，AO＝AD＝OD，即△AOD是等边三角形．∴∠ADO＝∠DAN＝60°.∴∠ABD＝90°－∠ADO＝30°.∵DE⊥AC，∴∠ADN＝∠ODN＝30°.∴∠ODN＝∠ABD.∴DE＝BE.∴平行四边形DEBF是菱形．故④正确．正确结论有4个，故选D.二、填空题(每小题4分，共24分)9．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使其成为正方形(只填一个即可)．10．在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的面积是.AB＝AD(答案不唯一)2411．(2020·镇江中考)如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为.135°12．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为.501313．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边在正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝.132解析：如图，连接CF.在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，∴GF＝GB＝5，BC＝7.∴GC＝GB＋BC＝5＋7＝12.∴CF＝GF2＋GC2＝52＋122＝13.∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝12CF＝132.14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为.125解析：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝BA2＋AC2＝5.∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°.∴四边形DMAN是矩形．∴MN＝AD.∴当AD⊥BC时，AD的值最小．此时，△ABC的面积为12AB·AC＝12BC·AD.∴AD＝AB·ACBC＝125.∴MN的最小值为125.三、解答题(共44分)15．(8分)(2020·呼伦贝尔中考)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，即∠DOF＋∠COF＝90°.(3分)∵∠EOF＝90°，即∠COE＋∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF.∴△COE≌△DOF(ASA)．∴CE＝DF.(8分)16．(10分)如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(1)证明：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠AOB＝∠DAO＋∠ADO＝2∠OAD，∴∠DAO＝∠ADO.∴AO＝DO.∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．(5分)(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数．(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，OB＝OA.∴∠ABO＝∠CDO，∠OAB＝∠OBA.∵∠AOB∶∠ODC＝4∶3，∴∠AOB∶∠ABO＝4∶3.∴∠BAO∶∠AOB∶∠ABO＝3∶4∶3.∴∠ABO＝54°.∵∠BAD＝90°，∴∠ADO＝180°－90°－54°＝36°.(10分)17．(12分)(2020·北京中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.(1)求证：四边形OEFG是矩形；(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD.∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线．∴OE∥AB，即OE∥FG.∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形．(4分)∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°.∴四边形OEFG是矩形．(6分)(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10.∴∠AOD＝90°.∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝12AD＝5.由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5.(9分)∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝AE2－EF2＝3.∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2.(12分)18．(14分)如图①，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F，连接PC.(1)求证：PC＝PE；(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP.∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP(SAS)．∴PA＝PC.∵PA＝PE，∴PC＝PE.(3分)(2)求∠CPE的度数；(2)解：∵△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E.∴∠FCP＝∠E.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°.(5分)∴∠EDF＝90°.∵∠PFC＝∠DFE，∴∠FCP＋∠PFC＝∠DFE＋∠E＝180°－∠EDF＝90°.∴∠CPE＝180°－(∠FCP＋∠PFC)＝90°.(8分)(3)★如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．(3)解：AP＝CE.(9分)理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°.∴∠ADC＝120°.∴∠EDC＝60°.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠ADP＝∠CDP＝12∠ADC＝60°.∵AD＝CD，DP＝DP，∴△DAP≌△DCP.∴CP＝AP＝PE，∠PCD＝∠PAE＝∠PEA.(11分)∵∠DPE＝∠ADB－∠PEA，∠CPB＝∠CDB＋∠PCD，∴∠DPE＋∠BPC＝∠ADB＋∠CDB＝120°.∴∠EPC＝180°－(∠DPE＋∠BPC)＝60°.又∵PC＝PE，∴△PCE是等边三角形．∴AP＝PE＝CE.(14分)