轻绳、轻杆模型研究

1轻绳、轻杆模型研究制作人：肖华琴轻杆、轻绳都是忽略质量的理想模型，这两个模型既有相同又有相异，由于不同模型呈现的物理情景不同，因而具有不同的性质和规律。此类问题在高中物理中占有相当重要的地位，且涉及到的问题情景综合性较强、物理过程复杂，从受力的角度看，这类弹力可能是变力；从能量的角度看，可以通过弹力做功实现能量的转移、转化。通过分析这两种模型的特点，明确它们的相同之处和不同之处，以分析类似的问题。这两种模型的特点如下：（1）轻绳模型：不能伸长，质量和重力可以视为零；同一根绳的两端和中间各点的张力相等；只能产生压力，与其他物体相互作用时总是沿绳子方向；在瞬间问题中轻绳的拉力发生突变，不需要形变恢复时间；（2）轻杆模型：不能伸长和压缩，质量和重力可以视为零；同一根轻杆的两端和中间各点的张力相等；能承受拉力、压力和侧向力，力的方向不一定沿杆的方向。一、力的方向有异1、轻绳产生的弹力只能沿绳并指向绳收缩的方向；2、轻杆产生的弹力不一定沿杆的方向，可以是任意方向。例1.如图1所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有质量为m的小球，是分析小车在静止、水平向右以加速度a运动时杆对小球的作用力Fn的大小和方向。解：（1）当小车静止时，小球也静止，小球处于平衡状态所受合外力为零。小球受竖直向下的重力，因此所受杆对小球的支持力竖直向上，大小是Fn=mg;（2）当小车水平向左以加速度a运动时，小球同时也向左以加速度a运动，因此小球所受合外力F合=ma，F合为小球所受重力和杆对小球的支持力合成的结果。如图1（b），根据平行四边形定则，杆对小球的支持力22)()(mamgFN,方向是斜向左上方，且与水平方向夹角为arctan(g/a)；当a=g/tan时，Fn的方向是沿垂直于斜杆的左上方；（3）当小车水平向右以加速度a运动时，分析同上，不同之处是小球的支持力Fn方向是斜向右上方，且与水平方向夹角θ为arctan(g/a)；当a=g*tanθ时，Fn的方向是沿斜杆的方向。注：如果将杆改为轻质绳，其他条件不变，则当小车水平向右以加速度a运动时，小球仅受重力和绳对小球的作用力；因为绳子只能被拉伸，因此绳子的弹力方向是沿绳方向。总结：轻绳模型由于既能承受拉力和压力又能承受侧向力，因此力的方向不一定沿杆的方向；加速度和合外力具有对应关系，通过小球所受的合外力合重力分力来确定杆对小球支持力的大小和方向。轻质绳的弹力则只能沿绳的方向。2二、力的效果有异1、轻绳只能提供拉力。2、轻杆既可以提供拉力，又可以提供压力。例2．用长为l的轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动，要使小球能做完整的圆周运动，则小球在最低点的速度v最小为多少？若把轻绳改为轻杆，要使小球在竖直平面内能做完整的圆周运动，则小球在最低点的速度v最小为多少？解：因小球在轻绳约束下在竖直平面内能做完整的圆周运动，所以小球在最高点时有一个临界速度v0，此时绳子的拉力恰好为零，由重力提供向心力有lvmmg20①设小球在最低点时的速度为v，由机械能守恒定律得20221212mvmvmgl②由①②两式解得：5vgl小球在最低点的速度v必须大于等于gl5。因小球在轻杆约束下在竖直平面内能做完整的圆周运动，所以小球在最高点时的速度稍微大于零即可，这时轻杆提供支持力。由机械能守恒定律，求出小球在最低点的速度为2vgl，小球在最低点的速度v必须大于2gl。总结：轻绳约束下的物体在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时绳子的弹力可以为零，绳子呈现虚直状态；轻杆约束下的物体在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时轻杆的弹力既可以提供拉力，又可以提供压力。三、力的突变性有异轻绳、轻杆的弹力可以发生突变。例3、如图2（a）所示，质量为m的小球系于长度分别为L1、L2的两根轻绳上，L1的一端悬挂在天花板上，且与竖直方向夹角为θ，L2水平拉直，物体处于平衡状态，现将水平绳L2剪断，求此瞬间轻绳L1的拉力和小球的加速度。（a）（b）图2解：未剪断L2之前，小球受L1的拉力F1、L2的拉力F2和小球的重力G共同作用，三力的合力为零，小球处于平衡状态。当水平绳L2剪断的瞬间，L2上的拉力和重力的合力不再是水平方向，而是沿垂直于L1向下的方向，如图2（b）所示。故F1=mgcosθ合力F合=mgsinθ=ma,a=gsinθ。方向沿垂直于L1向下。注：如果把斜绳L1换成轻杆，L1上的张力同样也发生突发，分析过程和结果与轻质绳模型相同。例4、如图3所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为A．hB．l.5hC．2hD．2.5h3解：从静止开始释放b到落到地面时，由机械能守恒定律得2)3(213vmmmmghmgh，解得ghv。a球上升h后，做竖直上抛运动，上升的高度为2221hgvh，故a上升的的最大高度为l.5h。故正确的选项为B总结：本题主要考查对物理情景的分析，轻绳连接的两小球，在轻绳绷紧的状态下遵守机械能守恒，抓住在b到落到地面时两球速度大小相等是解此题的关键；在b到落到地面后，轻绳呈现松弛状态，a球做竖直上抛运动。四、模型连接效果有异同1、固定轻杆与铰链轻杆（1）固定轻杆即不可转动的轻杆。例9．如图4所示，轻杆的一端固定在竖直的墙上，另一端装有一光滑的小滑轮，细绳绕过小滑轮一端系住一重物，另一端拴于墙壁上的P点。现把拴于墙上P点的绳端向上移动，则轻杆的作用力如何变化？解：以绳与滑轮相接触点为研究对象，根据矢量的合成法则作出平行四边形，可知两段绳的拉力的合力变小，且与水平面间的夹角也变小。再由平衡条件可知：固定轻杆对悬绳的作用力变小，方向与水平面的夹角也变小。总结：解本题的关键是抓住：轻绳上各点的拉力大小相等，在P点绳端向上移动的过程中，绳上拉力的大小不变，但两段绳的拉力的夹角变大。固定轻杆作用力的方向不一定沿杆。（2）铰链轻杆即可转动的轻杆例10．如图5所示，轻杆的一端铰链连接于墙壁上，另一端装有一光滑的小滑轮，细绳绕过小滑轮一端系住一重物，另一端拴于墙壁上的P点，整个系统处于平衡状态。现把拴于墙上P点的绳端向上移动，并保证系统始终处于平衡状态，则轻杆的作用力如何变化？解：把墙上P点的绳端向上移动时，轻杆的作用力始终沿杆的方向；由于两段绳的作用力大小相等，故轻杆总是处在两绳夹角的角平分线上。P点向上移动时，两段绳的夹角增大，轻杆必须顺时针方向转动达到新的对角线位置才可以使系统平衡。以轻绳与滑轮相接触点为研究对象，由平行四边形定则，可知两段绳的拉力的合力变小。铰链轻杆的作用力变小，方向与水平面的夹角也变小。总结：当轻杆以铰链形式连接时，要使轻杆处于平衡状态，则两段轻绳的作用力的合力必须沿轻杆轴线方向。此题与例9中的情形是相同，但相异的是轻杆的作用力始终沿杆的方向，这是区分固定轻杆和铰链轻杆得关键。五．能量的转化有异同在某一瞬间，物体由一种状态变化到另一种状态，从而引起运动和受力在短时间内发生急剧的变化，物理学上称之为突变问题。在突变的瞬间往往伴随着能量的转移、转化或耗散。1.轻绳在沿径向张紧瞬间，在其方向上的能量耗散；2.轻杆往往将其能量发生转移。例11．轻杆长为L，一端用光滑轴o固定，另一端系一个可视为质点，质量为m的小球，把小球拉至图6所示的位置，无初速度地自由释放到最低处B的过程中，小球做什么运动？到最低处时速度多大？弹力多少？若其它条件不变，把轻杆换为细绳，则释放后小球做什么运动？到最低处时速度多大？弹力为多少？解：杆与球相连，做非匀速圆周运动，其轨迹为圆的一部分，只有重力做功，由机械能守恒，选取最低处为零势能面，则：　　221)sin1(Bmvmgl①图4图5图64由牛顿第二定律得lvmmgTB2②由①②两式解得：)sin23(mgT绳连接时，球由A到C做自由落体运动，CA、关于水平线对称，设C处的速度为cv，且方向竖直向下，选取C点为零能面，221sin2cmvmgl③在C处cv按图示的方向分解，在绳突然拉紧的瞬间，将径向的动能2221mv损耗掉，由C到B的过程中，有机械能守恒，选取B点为零能面，　　22121)sin1(21BmvmgLmv④由速度的分解得　　　cos1cvv⑤由牛顿第二定律得lmvmgTB2/⑥由③④⑤⑥式解得mgT5.3/总结：轻杆与球相连时，只有重力势能向动能的转化；无能量损耗。轻绳与球相连时，在绳突然拉紧的瞬间，沿径向的动能将耗散掉，转化为其他形式的能。例12．如图7所示，A、B两小球用轻杆连接，A球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B球处于光滑水平面内．开始时杆竖直，A、B两球静止．由于微小的扰动，B开始沿水平面向右运动．已知A球的质量为mA，B球的质量为mB，杆长为L．则：（1）A球着地时的速度为多大?（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为多大?（3）若mA=mB，当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为多大?A球机械能的最小值为多大?（选水平面为参考平面）解：（1）A球着地时，B球的速度为0．设此时A球速度为v，由系统机械能守恒得212AAmgLmv解得2vgL（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0．设小球受到的支持力为N，对B球受力分析可得N=mBg（3）设杆与竖直方向间夹角为θ，B球的速度为vB，此时A球的速度为vA，则2211(1cos)22AAABBmgLmvmv且vA和vB沿杆方向上分速度大小相等，即cossinABvv联立解得22(1cos)cosBvgL令y=2(1cos)cos，当y的导数'y=0时，A球机械能最小，vB达最大值，即图752sincos2(1cos)cossin0解得：2cos3，309AgLv则A球机械能的最小值2min1cos2AAAAEmgLmv=2327AmgL总结：两球在轻杆的约束下分别在竖直光滑轨道和水平光滑轨道内运动，由于只有重力做功，满足机械能守恒定律。解此问题的关键：①是分析物理情景，弄清A球着地时和A球机械能最小时，B球的运动状态；②是抓住杆在下落的过程中，两球在沿杆方向的分速度相等。本题还较好的考查了学生应用数学处理物理问题的能力。