九年级数学上册22.1.4+二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质同步测试+新人教版

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质[见A本P18]1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是(C)A．y＝－x＋3B．y＝5xC．y＝2xD．y＝－2x2＋x－72．抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为(A)A．(3，－4)B．(3，4)C．(－3，－4)D．(－3，4)【解析】∵y＝x2－6x＋5＝x2－6x＋9－9＋5＝(x－3)2－4，∴抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标是(3，－4)．故选A.3．在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是(A)A．x1B．x1C．x－1D．x－1【解析】∵a＝－1＜0，∴二次函数图象开口向下，又对称轴是x＝1，∴当x＜1时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大．故选A.4．关于y＝－12x2＋3x－52的图象，下列说法不正确的是(B)A．开口向下B．对称轴是x＝－3C．顶点坐标是(3，2)D．顶点是抛物线的最高点【解析】a＝－12＜0，开口向下，故A正确；对称轴为x＝－b2a＝－32×－12＝3，故B不正确；当x＝3时，y最大值＝－12×32＋3×3－52＝2，故顶点坐标为(3，2)，C正确；D正确．5．下列关于二次函数的说法错误的是(B)A．抛物线y＝－2x2＋3x＋1的对称轴是x＝34B．点A(3，0)不在抛物线y＝x2－2x－3的图象上C．二次函数y＝(x＋2)2－2的顶点坐标是(－2，－2)D．二次函数y＝2x2＋4x－3的图象的最低点是(－1，－5)6．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2－4x＋3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是(D)A．(－2，3)B．(－1，4)C．(1，4)D．(4，3)7．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2－2x－3，则b，c的值为(B)A．b＝2，c＝2B．b＝2，c＝0C．b＝－2，c＝－1D．b＝－3，c＝2【解析】把抛物线y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4向左平移2个单位再向上平移3个单位得到y＝x2＋bx＋c，所以y＝(x－1)2－4变为y＝(x－1＋2)2－4＋3，即y＝(x＋1)2－1＝x2＋2x，所以b＝2，c＝0，选B.8．[2013·襄阳]二次函数的图形如图22－1－25所示：若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1x21，则y1与y2的大小关系是(B)图22－1－25A．y1≤y2B．y1y2C．y1≥y2D．y1y2【解析】∵a＜0，x1＜x2＜1，∴y随x的增大而增大∴y1＜y2.故选B.9．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中，图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有__①③__(填写所有正确选项的序号)．【解析】原式可化为y＝(x＋1)2－4，由函数图象平移的法则可知，将函数y＝x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4，的图象，故①正确；函数y＝(x＋1)2－4的图象开口向上，函数y＝－x2的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y＝(x－1)2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4的图象，故③正确．10．用配方法将二次函数y＝－12x2－x＋32化成y＝a(x－h)2＋k的形式为__y＝－12(x＋1)2＋2__；它的开口向__下__，对称轴是__x＝－1__，顶点坐标是__(－1，2)__．【解析】y＝－12x2－x＋32＝－12(x2＋2x－3)＝－12[(x＋1)2－4]＝－12(x＋1)2＋2.a＝－12＜0，它的图象开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1，2)．11．y＝2x2－bx＋3的对称轴是x＝1，则b的值为__4__．【解析】由对称轴公式得－－b2×2＝1，解得b＝4.12．写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及当x为何值时，y值最大(小)．(1)y＝－2x2－8x＋8;(2)y＝5x2＋6x＋7；(3)y＝3x2－4x;(4)y＝－2x2＋5.解：(1)y＝－2(x2＋4x－4)＝－2(x2＋4x＋4－8)＝－2(x＋2)2＋16.a＝－2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x＝－2，顶点坐标为(－2，16)．当x＝－2时，y有最大值．(2)∵a＝5，b＝6，c＝7，∴－b2a＝－62×5＝－0.6，4ac－b24a＝4×5×7－364×5＝140－3620＝10420＝5.2.抛物线开口向上，对称轴为x＝－0.6，顶点坐标为(－0.6，5.2)．当x＝－0.6时，y有最小值．(3)y＝3x2－43x＝3x2－43x＋49－49＝3x－232－43.抛物线开口向上，对称轴为x＝23，顶点坐标为23，－43.当x＝23时，y有最小值．(4)抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，5)，当x＝0时，y有最大值．13．已知二次函数y＝－12x2－7x＋152，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是(A)A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1【解析】∵二次函数y＝－12x2－7x＋152的对称轴为x＝－b2a＝－－72×－12＝－7.∵0＜x1＜x2＜x3，∴三点都在对称轴右侧，又∵a＜0，在对称轴右侧y随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3.14．若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为(C)A．直线x＝1B．直线x＝－2C．直线x＝－1D．直线x＝－4【解析】∵一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，∴－2a＋b＝0，即b＝2a，∴抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为直线x＝－b2a＝－1.故选C.15．已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.(1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________；(2)选取适当的数据填入下表，并在图22－1－26的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x……y……(3)若该抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．图22－1－26解：(1)x＝1，(1，3)；(2)填表如下：x…－10123…y…－1232－1…抛物线的图象如图所示．(3)因为在对称轴x＝1的右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2.图22－1－2716．如图22－1－27，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y＝－23x2＋bx＋c的图象经过B，C两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．解：(1)由题意，得C(0，2)，B(2，2)，∴c＝2，－23×4＋2b＋c＝2，∴b＝43，c＝2，∴该二次函数的解析式为y＝－23x2＋43x＋2.(2)令－23x2＋43x＋2＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴当y＞0时，－1x3.图22－1－2817．如图22－1－28，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；(2)若点M是抛物线对称轴上一点，求AM＋OM的最小值．解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点代入y＝ax2＋bx＋c中，得4a－2b＋c＝－4，c＝0，4a＋2b＋c＝0，解这个方程组，得a＝－12，b＝1，c＝0，所以抛物线解析式为y＝－12x2＋x.(2)如图，由y＝－12x2＋x＝－12(x－1)2＋12，可得抛物线的对称轴为x＝1，并且对称垂直平分线段OB，所以OM＝BM，OM＋AM＝BM＋AM.连接AB交直线x＝1于M，则此时OM＋AM最小．过A点作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB＝AN2＋BN2＝42＋42＝42，因此AM＋OM的最小值为42.18．在平面直角坐标系中，如图(1)，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a0)过矩形顶点B，C.(1)当n＝1时，如果a＝－1，试求b的值；(2)当n＝2时，如图(2)，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式．(1)(2)图22－1－29解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝12，∴－b2a＝12，解得b＝1；(2)因为抛物线过C(0，1)，所以c＝1，故可设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋1，由对称性可知抛物线经过点B(2，1)和点M12，2，∴1＝4a＋2b＋1，2＝14a＋12b＋1，解得a＝－43，b＝83，∴所求抛物线的解析式为y＝－43x2＋83x＋1.第2课时用待定系数法求二次函数的解析式[见B本P18]1．过(－1，0)，(3，0)，(1，2)三点的抛物线的顶点坐标为(A)A．(1，2)B.1，23C．(－1，5)D.2，143【解析】设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则a－b＋c＝0，9a＋3b＋c＝0，a＋b＋c＝2，解得a＝－12，b＝1，c＝32，∴y＝－12x2＋x＋32＝－12(x2－2x－3)＝－12[(x2－2x＋1)－4]＝－12[(x－1)2－4]＝－12(x－1)2＋2，顶点为(1，2)．故选A.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的坐标满足下表：x…－3－2－101…y…－3－2－3－6－11…则该函数图象的顶点坐标为(B)A．(－3，－3)B．(－2，－2)C．(－1，－3)D．(0，－6)【解析】∵x＝－3和－1时的函数值都是－3相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝－2，∴顶点坐标为(－2，－2)．故选B.3．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则抛物线的解析式为(D)A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4x＋5C．y＝－2x2＋4x＋8D．y＝－2x2＋4x＋6【解析】依题意，得a＝－2，a－b＋c＝0，9a＋3b＋c＝0，解得a＝－2，b＝4，c＝6，∴y＝－2x2＋4x＋6，故选D.4．抛物线的形状、开口方向与y＝12x2－4x＋3相同，顶点为(－2，1)，则该抛物线的解析式为(C)A．y＝12(x－2)2＋1B．y＝12(x－2)2－1C．y＝12(x＋2)2＋1D．y＝12(x＋2)2－1【解析】依题意得a＝12，可得该抛物线的解析式为y＝12(x＋2)2＋1，故选C.5．抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(1，－2)，则b＝__－4__，c＝__0__．【解析】依题意得y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x，所以b＝－4，c＝0.6．已知点A(1，2)，B(－2，5)，试写出一个二次函数，使它的图象经过A，B两点，则此二次函数可为__y＝x2＋1(答案不唯一)__．【解析】设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则a＋b＋c＝2，4a－2b＋c＝5，∴b＋c＝2－a，－2b＋c＝5－4a，解得b＝a－1，c＝3－2a，∴y＝ax2＋(a－1)x＋3－2a.取a≠0的数即可，如当a＝1时，y＝x2＋1.7．如图22－1－30，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(1，－2)，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为__3__．【解析】依题意得1－b＋c＝0，1＋b＋c＝－2，解得b＝－1，c＝－2，所以y