第二十一章 一元二次方程周周测5（21.2.4）

一元二次方程的根与系数的关系一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（）A．﹣3B．3C．﹣6D．62．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（）A．B．C．3D．3．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014B．2013C．2012D．20114．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0B．x2﹣3x﹣6=0C．x2+3x﹣6=0D．x2+3x+6=05．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（）A．无解B．有两正根C．有两负根D．有一正根及一负根二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）6．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=______，x1x2=______．7．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=______，n=______．8．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为______．9．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______．10．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则α2+4α+β=______．11．若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是______，k=______．12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程______．13．若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是______．页优秀领先飞翔梦想成人成才三．解答题：14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：（1）3x2+2x﹣3=0（2）x2+x=6x+7．15．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求+的值．16．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．17．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．18．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．页优秀领先飞翔梦想成人成才参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（）A．﹣3B．3C．﹣6D．6【解答】解：∵一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，∴x1+x2=3，x1•x2=﹣1，∴x12x2+x1x22=x1x2•（x1+x2）=﹣1×3=﹣3．故选A．2．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（）A．B．C．3D．【解答】解：因为α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，所以α+β=，αβ=﹣，又因为（α﹣2）（β﹣2）=αβ﹣2（α+β）+4=﹣﹣2×+4=．故选A3．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014B．2013C．2012D．2011【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2014=0的实数根，∴a2+a﹣2014=0，∴a2+a=2014，∴原式=2014+a+b，∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，页优秀领先飞翔梦想成人成才∴原式=2014﹣1=2013．故选B．4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0B．x2﹣3x﹣6=0C．x2+3x﹣6=0D．x2+3x+6=0【解答】解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α•β=﹣6，α+β=﹣3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，故选：B．5．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（）A．无解B．有两正根C．有两负根D．有一正根及一负根【解答】解：由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根，又由根与系数的关系，知x1+x2=﹣=2＞0，x1•x2==﹣＜0，所以有一正根及一负根．故选D．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）6．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=，x1x2=﹣．【解答】解：x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=，x1x2=﹣．故答案为：，﹣．7．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=2，n=﹣24．【解答】解：由根与系数的关系得，﹣3+4=，（﹣3）×4=页优秀领先飞翔梦想成人成才解得：m=2，n=﹣24，故答案为：2，﹣24．8．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为﹣．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，∴根据韦达定理知，x1+x2=﹣7，x1•x2=﹣8，∴==﹣．故答案是：﹣．9．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=10．【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，∴x22+5x2﹣3=0，∴x22+5x2=3，∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，∴2x1•x2+a=4，∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，∴x1x2=﹣3，∴2×（﹣3）+a=4，∴a=10．10．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则α2+4α+β=4．【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，∴α+β=﹣3，α2+3α﹣7=0，∴α2+3α=7，∴α2+4α+β=α2+3α+α+β=7﹣3=4，故答案为：4．．若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是5，k=0．【解答】解：设方程的另一个根为t，根据题意得0+t=5，0•t=k，所以t=5，k=0．故答案为5，0．12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程x2﹣5x+6=0（答案不唯一）．【解答】解：∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6，∴此方程可以为：x2﹣5x+6=0，故答案为：x2﹣5x+6=0（答案不唯一）．13．若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是5．【解答】解：设方程x2+kx+6=0的两根分别为a、b，则方程x2﹣kx+6=0的两根分别为a+5，b+5，根据题意得a+b=﹣k，a+5+b+5=k，所以10﹣k=k，解得k=5．故答案为：5．三．解答题：14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：（1）3x2+2x﹣3=0（2）x2+x=6x+7．【解答】解：（1）设x1，x2是一元二次方程的两根，所以x1+x2=﹣，x1x2=﹣1；页优秀领先飞翔梦想成人成才（2）方程化为一般式为x2﹣5x﹣7=0，设x1，x2是一元二次方程的两根，所以x1+x2=5，x1x2=﹣7．15．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求+的值．【解答】解：∵a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，∴a，b可看作方程x2﹣6x+4=0的两根，∴a+b=6，ab=4，∴原式====7．16．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0；∵原方程有两个实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤；（2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的两根，∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤；因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．17．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；页优秀领先飞翔梦想成人成才（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．18．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．【解答】解：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+，∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1﹣，x2=1+．