高中高考数学：关于函数的对称性和周期性

---1---关于函数的对称性一．单个函数的对称性1.函数)(axfy+=是偶函数⇔)()(xafxaf−=+⇔函数)(xfy=的图象关于ax=对称⇔)2()(xafxf−=2．)()(xbfxaf−=+⇔函数)(xfy=的图象关于2bax+=呈轴对称.3.函数)(axfy+=是奇函数⇔)()(xafxaf−−=+⇔函数)(xfy=的图象关于点)0,(a对称⇔)2()(xafxf−−=4．0)()(=−++xbfxaf⇔函数)(xfy=的图象关于点)0,2(ba+呈中心对称.5.函数baxfy−+=)(是奇函数⇔])([)(bxafbxaf−+−=−−⇔bxafxaf2)()(=++−⇔函数)(xfy=的图象关于点),(ba对称⇔)2(2)(xafbxf−−=6.cxbfxaf=−++)()(⇔函数)(xfy=的图象关于点)2,2(cba+呈中心对称.二．两个函数的对称性1.函数)(xfy=关于ax=的对称函数为)2(xafy−=；2.函数)(xfy=关于by=的对称函数为)(2xfby−=；3.函数)(xfy=关于点),(ba的对称函数为)2(2xafby−−=；4.函数)(xafy+=与函数为)(xbfy−=关于2abx−=（即xbxa−=+）对称；5.函数)(xafy+=与函数为)(xbfcy−−=关于点)2,2(cab−对称.证明：设)()(xafxg+=，则由结论3.可知其关于点)2,2(cab−的对称函数为)())2(2(22xabgcxabgcy−−−=−−×−×=而)())(()(xbfcxabafcxabgcy−−=−−+−=−−−=，得证.反函数结论（略）.---2---关于函数的周期性一．周期函数的定义：函数)(xf在其定义域内，对任意的x都存在一个常数)0(≠TT，使得)()(xfTxf=+成立，则称函数)(xf是周期函数，T叫做函数)(xf的一个周期.（注：以后T专指最小正周期）设T是函数)(xf的一个周期，则)0,(≠∈kZkkT也是函数)(xf的周期.问1：有没有一个函数是周期函数，但是没有最小正周期？答：有，常数函数就是！问2：一个周期函数的最小正周期与其他周期什么关系？答：如果一个函数存在最小正周期，那么其他的周期必是最小正周期的非零整数倍！问3：在ba≠的时候，)()(xbfxaf−=+和)()(xbfxaf+=+分别表示什么？答：)()(xbfxaf−=+表示)(xf的对称轴为2bax+=；而)()(xbfxaf+=+表示)(xf的周期为.||baT−=二．常见结论（注：此处T专指最小正周期，且默认0≠a）（1）若)(xf对定义域内的任意x都有)()(xfaxf−=+，则||2aT=.推广：若)(xf对定义域内的任意x都有)()(xfmaxf−=+，则||2aT=.证明：用ax+代替)()(xfmaxf−=+中的x，得到)()2(axfmaxf+−=+；于是)()2(axfmaxf+−=+)()]([xfxfmm=−−=，得证.（2）若)(xf对定义域内的任意x都有)(1)(xfaxf=+，则||2aT=.（3）若)(xf对定义域内的任意x都有)(1)(xfaxf−=+，则||2aT=.推广：若)(xf对定义域内的任意x都有)()(xfmaxf=+)0(≠m，则||2aT=.证明：用ax+代替)()(xfmaxf=+中的x，得到)()2(axfmaxf+=+；于是)()()()2(xfxfmmaxfmaxf==+=+，得证.---3---（4）若)(xf对定义域内的任意x都有)(1)(1)(xfxfaxf+−=+，则||2aT=.证明：用ax+代替)(1)(1)(xfxfaxf+−=+中的x，得到)(1)(1)2(axfaxfaxf+++−=+；于是)(2)(2)(1)(11)(1)(11)(1)(1)2(xfxfxfxfxfxfaxfaxfaxf==+−++−−=+++−=+，得证.（5）若)(xf对定义域内的任意x都有)(1)(1)(xfxfaxf−+=+，则||4aT=.证明：用ax+代替)(1)(1)(xfxfaxf−+=+中的x，得到)(1)(1)2(axfaxfaxf+−++=+；于是)(1)(22)(1)(11)(1)(11)(1)(1)2(xfxfxfxfxfxfaxfaxfaxf−=−=−+−−++=+−++=+，再用ax2+代替)(1)2(xfaxf−=+中的x，得到)()(11)2(1)4(xfxfaxfaxf=−−=+−=+；得证.变化1：)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf−+=+，且存在一个定值a使得1)(=af，且对于任意的axx2||021−必有1)()(21≠xfxf，则)(xf的周期||4aT=；证明：取)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf−+=+中的axxx==21,，然后代入1)(=af，得到：)(11)()(xfxfaxf−+=+，已证毕.故||4aT=.变化2：())()(1)()(122121xfxfxfxfxxf−+=−，且存在一个定值a使得1)(=af，则)(xf的周期||4aT=证明：同上，略（6）若)(xf的图象关于,ax=且同时关于)(babx≠=对称，则||2baT−=.证明：)22())2(2()2()(abxfxabfxafxf−+=−−=−=，得证.---4---（7）若)(xf的图象关于),0,(a且同时关于)(babx≠=对称，则||4baT−=.推广：若)(xf的图象关于),,(ma且同时关于)(babx≠=对称，则||4baT−=.证明：)22(2))2(2(2)2(2)(abxfmxabfmxafmxf−+−=−−−=−−=，用abx22−+代替上式中的x，得到)44(2)22(abxfmabxf−+−=−+于是)44()]44(2[2)22(2)(abxfabxfmmabxfmxf−+=−+−−=−+−=，得证.（8）若)(xf的图象关于),0,(a且同时关于))(0,(bab≠对称，则||2baT−=.推广：若)(xf的图象关于),,(ma且同时关于))(,(bamb≠对称，则||2baT−=.证明：)22()]2(2(2[2)2(2)(abxfxabfmmxafmxf−+=−−−−=−−=，得证.（9）)()()(axfxfaxf−−=+，或写成：)()()(xfaxfaxf=−++，或写成)()()2(xfaxfaxf−+=+，或写成：)()()2(axfxfaxf+=++，则||6aT=.证明：用ax+代替)()()(axfxfaxf−−=+中的x，得到)()()2(xfaxfaxf−+=+,于是：)()()]()([)()()2(axfxfaxfxfxfaxfaxf−−=−−−=−+=+，用ax+代替)()2(axfaxf−−=+中的x，得到)()3(xfaxf−=+，用ax3+代替)()3(xfaxf−=+中的x，得到)()]([)3()6(xfxfaxfaxf=−−=+−=+，得证.（10）)()()(axfxfaxf−=+，或写成：)()()(xfaxfaxf=−⋅+，或写成)()()2(xfaxfaxf+=+，或写成：)2()()(axfaxfxf++=，则||6aT=.证明：用ax+代替)()()(axfxfaxf−=+中的x，得到)()()2(xfaxfaxf+=+,两式相乘：得到)(1)2(axfaxf−=+，用ax+代替)(1)2(axfaxf−=+中的x，得到)(1)3(xfaxf=+，用ax3+代替)(1)3(xfaxf=+中的x，得到)()(11)3(1)6(xfxfaxfaxf==+=+，得证.---5---三．不常见结论（注：此处T专指最小正周期，且默认0≠a）(1))()(21)(2xfxfaxf−+=+,则)(xf的周期||2aT=证明：先将原式移项平方，得到：)()(41)()(22xfxfaxfaxf−=++−+再移项：41)()()()(22−=−++−+xfxfaxfaxf，①再用ax+代替上式中的x，得41)()()2()2(22−=+−+++−+axfaxfaxfaxf，②①②两式对比，易得：)()()2()2(22xfxfaxfaxf−=+−+，两边都加41，得到：2221)(21)2(−=−+xfaxf，由原式)()(21)(2xfxfaxf−+=+可知，必有21)(≥xf，故21)(21)2(−=−+xfaxf，即)()2(xfaxf=+，得证.(2))(11)(axfxf+−=，或写成)(11)(xfaxf−=+)1,0)((≠xf，则)(xf的周期||3aT=证明：用ax+代替)(11)(axfxf+−=中的x，得到)2(11)(axfaxf+−=+，代入原式得到1)2(11)2()2(1)2(1111)(11)(−+−=−++−=+−−=+−=axfaxfaxfaxfaxfxf，再用ax+代替1)2(1)(−+−=axfxf中的x，得到1)3(1)(−+−=+axfaxf，代入原式得到)3(1)3(11)3(111)(11)(axfaxfaxfaxfxf+=−++=−+−−=+−=，得证.另证：用ax+代替)(11)(xfaxf−=+中的x，得到)(11)()(1)(1111)(11)2(xfxfxfxfaxfaxf−=−−=−−=+−=+，再用ax+代替x，得到)()(1111)2(11)3(xfxfaxfaxf=−−=+−=+，得证.---6---(3))4()3()2()()()4()3()2()()(axfaxfaxfaxfxfaxfaxfaxfaxfxf++++=++++++++,则)(xf的周期||5aT=.证明：在原式中分离出1)4()3()2()()4()3()2()()(−+++++++++++=axfaxfaxfaxfaxfaxfaxfaxfxf，用ax+代替原式中的x，分离出1)4()3()2()()4()3()2()()5(−+++++++++++=+axfaxfaxfaxfaxfaxfaxfaxfaxf，故)()5(xfaxf=+，得证.