(修改)第七讲从海岸线长度谈起——分形几何

第七讲海岸线的长度问题欧几里得几何大自然的几何学放眼宇宙，细看犬牙交错的海岸线，美丽对称而边缘并不平滑的雪花，以及天上的云朵，山中的枫叶…，绝大多数的客观实物，并不像欧几里得几何中讨论的点、线段、圆、立方体、球等乃至笛卡儿的解析几何中的椭圆、椭球等那样单纯；复杂是宇宙的本性。有不少东西大处和小处的结构有相似性，例如太阳系，地球绕着太阳转，月亮又绕着地球转，月亮上的氢原子核外又有绕其旋转的电子等等，这种无限嵌套的精细的层次结构实乃大自然的几何学！多少世纪以来，人们总是用欧几里得几何的对象和概念来描述我们这个生存的世界。但是自然界随机性似乎常常产生出无法用欧几里得几何描述的对象。在这些场合，分形是最好的描述工具分形几何学的基本思想我们的主观世界认知范围是“有限”的，但是客观世界是“无限”的，我们需要开拓自己的认知领域。思考1.闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、小麦须根系、树冠、支气管、星系、材料断口、大脑皮层等等复杂、不规则的图形还能用欧几里得几何描述吗？2.一块稻田的面积可以用欧几里得几何，但假如稻田干涸时的“泥裂”还能用欧几里得几何吗？3.刘徽“割圆术”能得到圆周长，但类似的方法能得到“海岸线”的长吗？你会相信吗？我们的主观世界认知范围是“有限”的，但是客观世界是“无限”的，我们需要开拓自己的认知领域。以下一些问题，在你所认知的领域里可能较难判断。1.你相信有这样的曲线吗？它所围的面积是有限的但它的周长是无限的！答：有这样的曲线：雪花曲线（科克1904年创造的曲线）就有这样两个出乎意料的迷人的矛盾特性。直觉：曲线周长趋势？所围面积趋势？2.你相信有这样的图形吗？它的周长趋近于无穷大而它的面积则趋近于零答：有直觉和想象：周长怎么变？面积怎么变？清凉座垫3.你相信有这样的立体图形吗？它的表面积趋于无穷大而它的体积则趋于零谢尔宾斯基海绵答：有—谢尔宾斯基海绵。将一个正方体的每个面9等分，则正方体被分成27个小正方体，抽去体心与面心处的7个小正方体；然后，对剩下的20个小正方体中的每一个再实施以上的操作，如此下去……谢尔宾斯基海绵分形讨论图形的复杂性以上三种“怪物”有什么共同特点？几何分形或正规分形自相似性。局部形态与整体形态的相似性。形象地说，就是我们用任何倍数的显微镜去观察任一局部，都与整体有相似的形态。（欧几里得几何中的圆就没有这种特性，把圆的一部分放大后便变得比较平直）一、分形起源从海岸线长度谈起1.B.B.Mandelbrot的工作1967年法国数学家B.B.Mandelbrot（蒙德尔布罗）在《科学》杂志上发表文章“英国的海岸线有多长？”。他发现这个差距源于海岸线形状的不规则性及用来测量的尺子长短不一。这看似极其简单，但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。但是，在欧几里得几何中，当尺的长度趋于零的时候，测量出的长度趋于圆周长！但是，当尺的长度趋于零的时候，海岸线的长度却趋于无穷大！在理论数学中，瑞典数学家Koch早在1904年就构造了如今称之为“柯赫曲线”(Kochcurve)的几何对象。直觉：周长趋于无限，面积趋于有限逻辑：如何证明？或3*1=33+3*1/3=3*4/33*4/3+12*1/3*1/3=3*4/3*4/3数学文化：一般到特殊，特殊到一般，归纳总结找规律的猜想，证明规律的猜想得结论雪花曲线的特点——自相似性。任何一个局部放大后都与整体非常相似。（欧几里得中的圆就没有这个性质）邮票上的雪花曲线（保加利亚）有什么奥秘？隆冬雪花你细瞧海岸线，就有类似的形状雪花边界线的长度？面积？春风杨柳（分形树）春天到了，从一枝长1的柳条的1/3与2/3处各长出长为1/3的新枝，分叉点把新枝分成5段，每段又从其1/3与2/3处长出新枝，此刚长出的新枝之长是该段长的1/3，如此生长下去，最后得到枝繁叶茂的一棵树。请算一算枝条的总长度。B.B.Mandelbrot：“1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，创造出分形（fractal）一词。分形是几何外形，它与欧几里得外形相反，是没有规则的。”“首先，它们处处无规则可言。其次，它们在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近处观察，分形看起来一个模样——它是自相似的。“整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。”“自然界提供了许多分形实例。例如，羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。”----B.B.Mandelbrot分形例子—蒙德尔布罗集2.Mandelbrot集大图是左上角矩形部分的放大，大图中的矩形部分跟整体又是“自相似”的分形图形的“自相似性”实际上一大类规则分形都可以这样生成出来，这种过程具有一般性，并可以用几套语言类似地表示出来：分形=原形+生成元+迭代分形=公理+产生式+解释分形=初条件+输入+反馈分形几何的应用图像，数据压缩方面的研究。如：对某一个静态场景的分形压缩。自然景物的模拟如：雪花，海岸线，分形山，分形树叶，分形生长模型分形植物真实的植物用迭代函数算法画的树分形艺术图片分形艺术图片分形几何的意义二、混沌自然界中的万物都遵循一定的规律。传统观点认为，只要掌握了这些规律就可以准确的预测事物的未来。例如，天文学家根据天体运行的牛顿定律就能预见未来时间里发生日月蚀的具体时刻。然而，自然界中也存在着许多事物，人们根本不能预见它们未来的运动变化。例如，空气中飘动的气球，气球本身和作用于气球的空气流同样也都受到牛顿动力学的支配，但无人能够准确地预测它在不久将来的位置。这种现象根据确定论代表人物法国数学家拉普拉斯的观点，其原因是我们不能准确知晓气球所在的初始位置和速度及作用于气球的空气流的方向和速度。但若从此观点看这种现象，人们不觉会认为自然界的一切随机不确定现象都源于不可知因素作用的结果，可能就要产生错误。蝴蝶效应1963年，美国气象学家洛伦茨发现的“蝴蝶效应”便是其中典型一例。洛伦茨在一个由三维一阶微分方程组描述的气象预报模型中，发现该确定的数学模型产生的结果不是趋于稳定平衡的，也不是趋于某种周期性变化，而是貌似随机的。近似的初始条件并不能获得近似的结果，更甚者，两者的差异随时间增大而越大。但这种现象并不是由于计算机的精度或可靠性等原因造成的。之后，这种类似现象被大量发现，引起众多学者的关注。1975年，美国数学家约克和华人学者李天岩将“蝴蝶效应”之类的现象称之为“混沌”。对混沌现象的研究加深了人们对非线性现象的理解，深化了对混沌现象本质的认识。混沌讨论过程的复杂性失之毫厘，谬以千里1.精确度要求很高时要考虑。2.混沌系统中就是“失之毫厘，谬以千里。”如“洛伦兹的天气预报”。3.线性系统中，小的扰动只产生结果的小偏差。混沌是比有序更为普遍的现象“蝴蝶效应”：巴西的蝴蝶扇一下翅膀，可能会引起几周之后在美国德克萨斯州有一场风暴。——洛伦兹“对初值的极端敏感”在天气预报中的发现。E.N.Lorenz的工作美国气象学家E.N.Lorenz在天气预报中的发现是混沌认识过程中的一个里程碑。1963年，他在麻省理工学院操作着一台当时比较的先进工具——计算机进行天气模拟，试图进行长期天气预报。Lorenz发现混沌运动的两个重要特点：（1）对初值极端敏感；(2)解并不是完全随机的。Lorenz之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。三、关于混沌的思考1.混沌的特点1)混沌是决定论系统的内在随机性，这种随机性与我们过去所了解的随机性现象，比如抛硬币等有很大的区别。2)混沌对初值的敏感依赖性。在线性系统中，小扰动只产生结果的小偏差，但对混沌系统，则是“失之毫厘，谬以千里”。3)混沌不是有序，也不是简单的无序，更不是通常意义下的有序。2.混沌的意义1)混沌的发现与数学史上的数学危机是不同的。数学危机是人们对于数学根基的质疑，而混沌则是人们在看似简单的问题中发现了复杂的现象。2)混沌绝不单单是有趣的数学现象，混沌是比一般的有序更为普遍的现象，它使我们对物质世界有了更深一层的认识，为我们研究自然的复杂性开辟了一条道路，同时也引出了关于物质世界认识论上的一些哲学思考。四、混沌学的应用1.通过对生命现象进行的考察，发现各种各样的生物节律既非完全周期，又不可能属于纯粹随机，它们既有与自然界周期（季节，昼夜等）协调的一面，又有着内在的复杂性质。20世纪20年代后期已经有人用非线性电路模拟过心脏搏动。近几年更发现了心律不齐等病症与混沌运动的联系。如果考察人类脑电波，对比就更为尖锐。癫痫患者发病时的脑电波呈明显的周期性，而正常人的脑电波近乎随机讯号。进一步测量表明它们不是随机的，而是接近于混沌系统。虽然距离最终认清它们还很远，但现在已有人进行利用混沌过程预测和控制癫痫，心律不齐等等病症。精神病监测和治疗的最新研究成果正常人的脑电波不是周期的而是混沌的，精神病人犯病时的脑电波却是周期的。因此可以在精神病人体内植入芯片监测其脑电波，一旦发现脑电波接近周期的，就很可能要犯病了，应该及时采取措施。这已经应用于临床。进一步的研究是在其脑电波接近周期时，给他一个刺激，使其脑电波重新回到混沌状态。但是由于混沌现象的一个特点是“对初值极端敏感”，刺激不当可能导致病人死亡，所以现在尚未应用于临床。2.对于气象学研究方面，似乎混沌动力学的发展排除了长期预报的可能性。但是另一方面我们现在对于预报问题有了更符合实际的态度。其实对短期预报和长期预报的要求从来不同。只有对于短期预报，我们才关心变化的细节。对于长期预报，人们更注意各种平均量的发展趋势，例如今后20年内华北年降水量的多少。混沌动力学的进步，恰恰在这方面提高了人类的预报本领。3.基于混沌理论的保密通信、信息加密和信息隐藏技术的研究已成为国际热门前沿课题之一，也是高科技研究的一个新领域。尽管已有许多混沌加密方案被提出，但混沌密码学的理论还未完全成熟，混沌密码学的研究仍然是一个新的具有挑战性的前沿课题。4.目前将将混沌理论应用到经济理论上的研究也十分活跃，但混沌理论最现实应用的应属于美国一交通工程师小组，他们在1988年把混沌与错综复杂的交通图形联系了起来，若有人被停停走走堵塞在公路上，那他就可以把责任推给混沌。分形几何进入中学数学课程1.分形几何进入中学数学课程的必要性1）分形几何的创立是数学发展历史上的又一次进步2）分形理论是描述现实世界的有力工具3）分形几何是培养创新思维的极好材料4）有利于学生掌握数学思想方法，发展辩证思维，提高审美情趣的思想方法。5）课程现代化的需要在数学上说，分形是一种形式，它从一个对象——例如线段、点、三角形——开始，重复应用一个规则连续不断地改变直至无穷。这个规则可以用一个数学公式或者文字来描述。如雪花曲线、分形树等。2.分形几何进入中小学数学课堂具体做法的探讨1）画分形树：画树干；画两个树枝，注意树干的角度是120度，长度是树干的1/2;继续在树枝上画小树枝，要求同上。并讨论：1）新的树枝的数量；2）全部树枝的数量；3）新的树枝的长度；4）全部树枝的长度，5）设计你自己的分形树。2）雪花曲线3）谢尔宾斯基地毯本讲思考题：1.举一些客观世界的分形图形和数学家构造的分形图形，并画分形树：画树干；画两个树枝，注意树干的角度是120度，长度是树干的1/2;继续在树枝上画小树枝，要求同上。并讨论：1）新的树枝的数量；2）全部树枝的数量；3）新的树枝的长度；4）全部树枝的长度，5）设计你自己的分形树。2.了解混沌的意义和应用。中文2班郑华斐的解答新树枝的数量022×22×2×2全部树枝的数量022+42+4+8新树枝长度1/21/2×1/21/2×1/2×1/2全部树枝的长度1/2×21/2×2+1/2×1/2×2×212n清凉座垫用三条中位线把一个正三角形划分成四个正三角形，去掉中间的那个小正三角形；对于剩下的