初中数学【9年级上】章末专题整合22

章末专题整合专题一专题二专题三专题四专题五专题一二次函数的图象与性质例1已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①因为a0,所以函数y有最大值;②该函数的图象关于直线x=-1对称;③当x=-2时,函数y的值等于0;④当x=-3或x=1时,函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1专题一专题二专题三专题四专题五解析:由图象知:函数有最小值,①错误;该函数的图象关于直线x=-1对称,②正确;当x=-2时,函数y的值小于0,③错误;当x=-3或x=1时,函数y的值都等于0,④正确.故正确的有两个,选C.答案:C专题一专题二专题三专题四专题五解答这类问题,要注意数形结合,其中正确解读图象中“特殊点”(与坐标轴的交点、顶点等)的意义是解答的关键.专题一专题二专题三专题四专题五专题二确定二次函数的解析式例2已知抛物线经过点(3,14),(1,4),(2,7),求抛物线解析式.分析:设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把三个点的坐标分别代入得到关于a,b,c的方程组,然后解方程组求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式.解:设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,根据题意,得9𝑎+3𝑏+𝑐=14,𝑎+𝑏+𝑐=4,4𝑎+2𝑏+𝑐=7,解得𝑎=2,𝑏=-3,𝑐=5,所以抛物线解析式为y=2x2-3x+5.专题一专题二专题三专题四专题五在利用待定系数法求二次函数解析式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.专题一专题二专题三专题四专题五专题三二次函数与一元二次方程例3关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2-1的图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0),且(1)求这个二次函数的解析式;(2)求抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标,并指出抛物线在该直线下方时x的取值范围.𝑥12+𝑥22=3.专题一专题二专题三专题四专题五分析:(1)利用抛物线与x轴的交点得到x1,x2为方程x2-(2m-1)x+m2-1=0的两根,先利用根的判别式大于0可得到m,再根据根与系数的关系得到x1+x2=2m-1,x1·x2=m2-1,由于,则(x1+x2)2-2x1·x2=3,所以(2m-1)2-2(m2-1)=3,然后解方程,再利用m的范围可确定m的值,从而得到抛物线解析式;(2)先通过解方程x2+x-1=-3x-4可得到抛物线与直线的交点的横坐标,再求出抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标为(-1,-1),(-3,5),然后利用图象可判断抛物线在该直线下方时x的取值范围.54𝑥12+𝑥22=3专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)∵关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2-1的图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0),∴x1,x2为方程x2-(2m-1)x+m2-1=0的两根,∴(x1+x2)2-2x1·x2=3,∴(2m-1)2-2(m2-1)=3,整理得m2-2m=0,解得m1=0,m2=2,∵m,∴m=0,∴抛物线解析式为y=x2+x-1.(2)解方程x2+x-1=-3x-4得x1=-1,x2=-3,∴抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标为(-1,-1),(-3,5),∴抛物线在该直线下方时x的取值范围为-3x-1.∴Δ=(2m-1)2-4(m2-1)0,解得m54.∵x1+x2=2m-1,x1·x2=m2-1,𝑥12+𝑥22=3,54专题一专题二专题三专题四专题五解答这类问题的本质是:已知y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值t求自变量的值,就是求一元二次方程ax2+bx+c=t的解,而已知自变量的值求函数值,就是求代数式的值.而抛物线在直线的下方时,取相同的自变量的值,所对应的二次函数的函数值小于一次函数的函数值.专题一专题二专题三专题四专题五专题四二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系例4如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为直线x=1,点B坐标为(-1,0).则下面的四个结论:①2a+b=0;②8a+c0;③abc0;④当y0时,x-1或x2;⑤对任意实数m,m(am+b)≤a+b.其中正确的结论有()个.A.2B.3C.4D.5专题一专题二专题三专题四专题五解析:根据抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定a,b,c的符号,根据函数图象确定y0和y0时,对应x的取值范围即可.①对称轴x==1,∴2a+b=0,①正确;②x=-2时,y0,∴4a-2b+c0,又b=-2a,∴8a+c0,②正确;③抛物线开口向下,a0,对称轴在y轴右侧,b0,与y轴交于正半轴,c0,∴abc0,③错误;④当x-1或x3时,y0,④错误;⑤当x=1时,函数有最大值,∴am2+bm+c≤a+b+c,∴m(am+b)≤a+b,⑤正确.答案:B-𝑏2𝑎专题一专题二专题三专题四专题五解答这类问题,注意在理解和掌握二次函数的图象和性质的基础上,数形结合,深入分析,逐一判断每个说法的真假.专题一专题二专题三专题四专题五专题五二次函数的应用例5把一张边长为40cm的正方形硬纸板,进行适当的裁剪,折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).(1)如图,若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.①要使折成的长方体盒子的底面积为484cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由.专题一专题二专题三专题四专题五(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.若折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况).专题一专题二专题三专题四专题五分析:(1)①设剪掉的正方形的边长为xcm,根据题意得出(40-2x)2=484,求出即可;②设剪掉的正方形的边长为acm,盒子的侧面积为ycm2,则y与a的函数关系为y=4(40-2a)a,利用二次函数最值求出即可.(2)设长方体盒子的高为xcm,利用折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2,得出方程求出即可.专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)①设剪掉的正方形的边长为xcm,则(40-2x)2=484,即40-2x=±22,解得x1=31(不合题意,舍去),x2=9.答:剪掉的正方形的边长为9cm.②侧面积有最大值,设剪掉的小正方形的边长为acm,盒子的侧面积为ycm2,则y与a的函数关系为y=4(40-2a)a,即y=-8a2+160a=-8(a-10)2+800,∵-80,∴y有最大值,即当a=10时,y最大=800,即当剪掉的正方形的边长为10cm时,长方体盒子的侧面积最大为800cm2.专题一专题二专题三专题四专题五(2)设长方体盒子的高为xcm,则长为40-2x,宽为20-x,表面积为2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550,解得x1=-35(不合题意,舍去),x2=15,即长方体盒子的高为15cm,则长为40-2x=40-2×15=10(cm),宽为20-x=20-15=5(cm),此时长方体盒子的长为10cm,宽为5cm,高为15cm.专题一专题二专题三专题四专题五解答这类问题,弄清题中的等量关系建立二次函数模型,综合运用二次函数及其相关知识进行解答.