初中数学【9年级上】21.3

21.3实际问题与一元二次方程知识点知识点列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题的一般步骤类似,可以归纳为:(1)审:审题,要明确已知量和未知量及问题中的等量关系;(2)设:设出未知数,有直接设法和间接设法两种;(3)列:找出能表达应用题全部含义的一个相等关系,列出一元二次方程;(4)解:求出所列方程的解;(5)验:检验方程的解是否正确,是否符合实际意义;(6)答:写出正确答案.知识点名师解读:列一元二次方程解应用题就是建立一元二次方程模型解应用题,可以类比列一元一次方程解应用题的方法,注意体会其中的建模思想.列方程时,注意抓题目中的关键描述语,找到适合题目的数量关系和等量关系,这就需要熟练掌握常见的数量关系、面积公式、定理等.知识点例1列方程解应用题:某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出相同数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?分析:由题意设主干长出的支干的数目是x,每个支干又长出x个小分支,则共有x2个小分支,则共有x2+x+1个分支,即可列方程求得x的值.解:设每个支干长出的小分支的数目是x个,根据题意列方程得x2+x+1=91,解得x=9或x=-10(不合题意,应舍去).所以x=9.答:每个支干长出9个小分支.知识点解答这类问题,按照一般步骤进行:读懂题意,正确地写出主干、支干、小分支的数目,列出一元二次方程,注意所得方程的解要有实际意义才行.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点一列一元二次方程解增长率问题例1(2015秋·南关区期中)某图书馆2013年年底有图书20万册,预计2015年年底图书增加到28.8万册.(1)求该图书馆这两年图书册数的年平均增长率.(2)如果该图书馆2016年仍保持相同的年平均增长率,请你预测2016年年底图书馆存图书多少万册.分析:(1)经过两次增长,求年平均增长率的问题,应该明确原来的基数,增长后的结果.设这两年的年平均增长率为x,则经过两次增长以后图书馆有书20(1+x)2万册,即可列方程求解;(2)利用求得的百分率,进一步求得2016年年底图书馆存图书数量即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:(1)设年平均增长率为x,根据题意得20(1+x)2=28.8,即(1+x)2=1.44,解得x1=0.2,x2=-2.2(舍去).答:该图书馆这两年图书册数的年平均增长率为20%.(2)28.8(1+0.2)=34.56(万册).答:预测2016年年底图书馆存图书34.56万册.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解答此类题目关键是认真分析题意,用代数式表示出题目中相关的数量,掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b(当增长时中间的“±”号选“+”,当下降时中间的“±”号选“-”).另外所求出的增长率(降低率)须有实际意义.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点二列一元二次方程解数字问题例2已知:三个连续奇数,它们的平方和为251,求这三个奇数.分析:设出这三个奇数,根据它们的平方和为251列方程解答即可.解:设这三个奇数依次为n-2,n,n+2,其中n为整数,则依题意列方程得,(n-2)2+n2+(n+2)2=251,3n2=243,n2=81,∴n=9或n=-9,当n=9时,n-2=7,n+2=11;当n=-9时,n-2=-11,n+2=-7.答:这三个连续奇数为7,9,11或-11,-9,-7.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解答数字问题,一般采取间接设法,尤其是三个连续整数,通常设中间一个为n,其余两个用含n的代数式表示.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点三列一元二次方程解图形面积问题例3(2015秋·江岸区期中)如图,要设计一副宽20cm,长30cm的图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为2∶3,如果要使彩条所占面积是图案面积的,应如何设计彩条的宽度?925拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五分析:设横彩条的宽度是2xcm,竖彩条的宽度是3xcm,根据设计的图案宽20cm,长30cm,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为2∶3,彩条所占面积是图案面积的,列出方程求解即可.解:设横彩条的宽度是2xcm,竖彩条的宽度是3xcm,则(30-6x)(20-4x)=×20×30,解得x1=1,x2=9.∵4×9=3620,∴x=9舍去,∴横彩条的宽度是2cm,竖彩条的宽度是3cm.9251-925拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五这类题目体现了数形结合的思想,需利用平移把不规则的图形变为规则图形,进而即可列出方程,求出答案.另外还要注意解的合理性.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点四列一元二次方程解商品销售问题例4(2015·岳池县模拟)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件;(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?分析:此题属于经营问题,若设每件衬衫应降价x元,则每件所得利润为(40-x)元,但每天多售出2x件,即售出件数为(20+2x)件,因此每天赢利为(40-x)(20+2x)元,进而可根据题意列出方程求解.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:(1)设每件衬衫应降价x元,根据题意得(40-x)(20+2x)=1200,整理得2x2-60x+400=0,解得x1=20,x2=10.因为要尽量减少库存,在获利相同的条件下,降价越多,销售越快,故每件衬衫应降价20元.答:每件衬衫应降价20元.(2)设商场平均每天盈利y元,则y=(20+2x)(40-x)=-2x2+60x+800=-2(x2-30x-400)=-2[(x-15)2-625]=-2(x-15)2+1250.∴当x=15时,y取最大值,最大值为1250.答:每件衬衫降价15元时,商场平均每天盈利最多,最大利润为1250元.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五降低每件的售价,实际就是降低每件的利润,售价降低,销售量增加.减少库存,就是要增加销量,在保证盈利相同的情况下,降价越多,销售量增加地越多,就达到减少库存的目的.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点五列一元二次方程解生活实际问题例5某市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格进行两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子,开发商给予以下两种优惠方案供其选择:①打9.8折销售;②不打折,送两年物业管理费.物业管理费每平方米每月1.5元,请问哪种方案更优惠?拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五分析:(1)设平均每次下调的百分率为x,根据题意列出方程,求出方程的解得到x的值,即可得到结果;(2)根据两种优惠方案计算出各自的费用,比较即可得到结果.解:(1)设平均每次下调的百分率为x,依题意,得6000(1-x)2=4860,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去),答:平均每次下调的百分率为10%.(2)方案一可优惠:4860×100×(1-98%)=9720(元);方案二可优惠:100×1.5×12×2=3600(元),∵97203600,∴方案一更优惠.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解答有关“优惠”问题时,可以有两种方法:一是利用相同时间内所支出的总额进行比较,少者为“优惠”;二是利用相同时间内节省的金额,节省的多者为“优惠”.