初中数学【9年级上】21.2.1

21.2解一元二次方程21.2.1配方法知识点一知识点二知识点一利用平方根的定义解一元二次方程一般地,对于方程x2=p,(1)当p0时,根据平方根的意义,方程x2=p有两个不相等的实数根,x1=,x2=-;(2)当p=0时,根据平方根的意义,方程x2=p有两个相等的实数根,x1=x2=0;(3)当p0时,因为对任意实数x,都有x2≥0,所以方程x2=p无实根.𝑝𝑝知识点一知识点二名师解读:利用平方根的定义解一元二次方程的方法也叫做直接开平方法,适合解一边是关于某个未知数的完全平方式,另一边是非负数的形式的一元二次方程.具体步骤如下:(1)将方程化为x2=a(a≥0)或(ax+b)2=c(c≥0)的形式;(2)两边开平方,得x=±𝑎或x=-𝑏±𝑐𝑎.知识点一知识点二例1用直接开平方法解下列方程:(1)x2-9=0;(2)4(x-2)2-3=0;(3)x2-6x+9=7;(4)(x-2)2=(2x+5)2.分析:(1)先变形得到x2=27,然后利用直接开平方法求解;(2)先变形得到(x-2)2=,然后利用直接开平方法求解;(3)先变形得到(x-3)2=7,然后利用直接开平方法求解;(4)先两边开方得到x-2=±(2x+5),然后解一元一次方程即可.1334知识点一知识点二解:(1)x2=27,x=±33,所以x1=33,x2=-33.(2)(x-2)2=34,x-2=±32,所以x1=2+32,x2=2-32.(3)(x-3)2=7,x-3=±7,所以x1=3+7,x2=3-7.(4)x-2=±(2x+5),x-2=2x+5或x-2=-(2x+5),所以x1=-7,x2=-1.知识点一知识点二(1)用直接开平方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:先把方程化为“左平方,右常数”,再开平方取正负,分开求得方程解.(2)运用整体思想,可把被开方数看成整体.知识点一知识点二知识点二用配方法解一元二次方程通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.名师解读:配方法就是通过配方,使一元二次方程转化为可以用直接开平方法求解的形式,最终实现了“降次”的目的,这种方法“原则”上适用于任何形式的一元二次方程求解.一般步骤如下:(1)将方程化成一般形式并把二次项系数化成1.(方程两边都除以二次项系数)(2)移项,使方程左边只含有二次项和一次项,右边为常数.(3)配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方.知识点一知识点二(4)原方程变为(x+n)2=p的形式:①当p0时,方程有两个不相等的实数根②当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-n;③当p0时,因为对任意实数x,都有(x+n)2≥0,所以方程无实根.x1=-n-𝑝,x2=-n+𝑝;知识点一知识点二例2用配方法解方程x2-72x-1=0,正确的是()A.𝑥+742=6516B.𝑥-742=6516C.𝑥-742=8116D.𝑥+742=4116解析:因为是选择题,所以可考虑两种方法:一是直接按照配方法配好,看与哪一个选项相同;二是把各选项分别化简整理,然后看哪一个与原方程相同,显然第二种方法计算量大一些,所以选择方法一.因为二次项系数是1,所以把常数项移到等号右边后方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方得x2-72x+742=1+742,𝑥-742=6516.答案:B知识点一知识点二对于二次项系数为“1”的一元二次方程的配方,只需要利用等式的基本性质,左右两边都加上一次项系数一半(与系数的符号无关)的平方即可.知识点一知识点二例3用配方法解方程:x2+x-20=0.分析:因为题目要求用配方法解一元二次方程,故按照配方法的一般步骤进行即可.解:∵x2+x-20=0,∴x2+x=20.∴x2+x+14=20+14.∴𝑥+122=814.∴x+12=±92.∴x=±92−12,即x1=4,x2=-5.知识点一知识点二选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1.知识点一知识点二例4用配方法解方程:2x2-4x=1.分析:题目要求利用配方法解一元二次方程,观察发现方程的二次项的系数不为1,因此先把二次项系数化成1,然后方程左右两边加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式,右边化为常数即可.解:二次项系数化为1,得x2-2x=12.配方得x2-2x+1=12+1,即(x-1)2=32.开方得x-1=±62,∴x1=1+62,x2=1-62.知识点一知识点二用配方法解一元二次方程,当二次项系数不为“1”时,先化成“1”,然后按照二次项系数为“1”的方法进行即可.拓展点一拓展点二拓展点一特殊配方巧解一元二次方程例1解方程4x2-4x-1=0.分析:方法一:按照常规的配方法去解;方法二:按照常规的配方法去解,但是不需要先把二次项系数化成1,观察等号的左边二次项的系数是一个完全平方数,只要在方程的左右两边同时加上2,左端即变成一个完全平方式,右端是一个非负数,就可以直接平开方求出方程的解.拓展点一拓展点二解:方法一:移项得,4x2-4x=1,方程的两边同时除以4得,x2-x=14,配方得,x2-x+14=14+14,即𝑥-122=12,所以x-12=±22,所以x1=1+22,x2=1-22.方法二:方程的两边同时加上2得,4x2-4x+1=2,即(2x-1)2=2,所以2x-1=±2,所以x1=1+22,x2=1-22.拓展点一拓展点二此种解法告诉我们配方法可以灵活运用,当左边二次项系数为一个数的完全平方时,可以不必将二次项系数化成1,只要按照方法二的解法进行即可.拓展点一拓展点二拓展点二利用配方法判定二次三项式的符号例2用配方法证明:不论x为任何实数,代数式x2-6x+10的值恒大于0.分析:本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒大于0,说明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成“a2+正数”的形式,根据完全平方的非负性来证明.拓展点一拓展点二证明:x2-6x+10=x2-6x+9-9+10=(x-3)2+1,又∵(x-3)2≥0,∴(x-3)2+10,即x2-6x+100.∴不论x为任何实数,代数式x2-6x+10的值恒大于0.拓展点一拓展点二要说明一个式子恒大于0,只要把这个式子表示成“a2+正数”的形式即可;若要说明一个式子恒小于0,只要把这个式子表示成“-a2-正数”即可.