初中数学【9年级下】九年级数学下册 28.2.2 应用举例同步测试 （新版）新人教版

应用举例第1课时仰角、俯角与圆弧问题[见B本P84]1．身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是(D)同学甲乙丙丁放出风筝线长140m100m95m90m线与地面夹角30°45°45°60°A.甲B．乙C．丙D．丁【解析】设风筝的线长、风筝高分别为l，h，线与地面的夹角为α，所以h＝lsinα，代入计算，比较大小．2．如图28－2－9，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得A点的仰角为60°，则物体AB的高度为(A)A．103米B．10米C．203米D.2033米图28－2－93．如图28－2－10，在两建筑物正中间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底G点为BC的中点，则矮建筑物的高CD为(A)A．20米B．103米C．153米D．56米图28－2－104．如图28－2－11，⊙O的半径为4cm，PA，PB是⊙O的两条切线，∠APB＝60°，则AP＝__43__cm__．图28－2－115．如图28－2－12，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝__73＋21__米(结果可保留根号)．图28－2－126．如图28－2－13，为测量江两岸码头B，D之间的距离，从山坡上高度为50米的点A处测得码头B的俯角∠EAB为15°，码头D的俯角∠EAD为45°，点C在线段BD的延长线上，AC⊥BC，垂足为C，求码头B，D之间的距离(结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．图28－2－13解：∵AE∥BC，∴∠ADC＝∠EAD＝45°.又∵AC⊥CD，∴CD＝AC＝50.∵AE∥BC，∴∠ABC＝∠EAB＝15°.又∵tan∠ABC＝ACBC，∴BC＝ACtan∠ABC≈185.2，∴BD＝BC－CD≈185.2－50≈135(米)．答：码头B，D之间的距离约为135米．图28－2－147.天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图28－2－14，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离(结果保留根号)解：由题意得，∠ECA＝45°，∠FCB＝60°，∵EF∥AB，∴∠CAD＝∠ECA＝45°，∠CBD＝∠FCB＝60°，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，在Rt△CDB中，tan∠CBD＝CDBD，∴BD＝51tan60°＝173米，∵AD＝CD＝51米，∴AB＝AD＋BD＝51＋173.答：A，B之间的距离为(51＋173)米．8．如图28－2－15，甲楼AB的高度为123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，求乙楼CD的高度(结果精确到0.1m，3取1.73)．图28－2－15第8题答图解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，根据题意，∠CAE＝45°，∠DAE＝30°.在Rt△ADE中，DE＝AB＝123，∠DAE＝30°，∴AE＝3DE＝1233.在Rt△ACE中，由∠CAE＝45°，得CE＝AE＝1233，∴CD＝CE＋DE＝123(3＋1)≈335.8(m)．答：乙楼CD的高度为335.8m.图28－2－169.如图28－2－16，小明为了测量小山顶上的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高。(精确到0.1米，3≈1.732)解：∵在山脚B处测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°。∴∠DBC＝60°，∠EBC＝30°∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°又∵∠BCD＝90°∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°即∠BDE＝30°∴∠BDE＝∠DBE，BE＝DE.设EC＝x，则BE＝2EC＝2x，BC＝BE2－EC2＝（2x）2－x2＝3xDE＝BE＝2x，DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x又∵在A处测得塔尖D的仰角为45°，AB＝73.2∴△ACD为等腰直角三角形，即AC＝DC＝3x，BC＝AC－AB＝3x－73.2∴3x＝3x－73.2，即1.732x＝3x－73.2，2.268x＝73.2，x≈32.3(米)故塔高约为64.6米．10．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验(如图28－2－17)：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)；(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．图28－2－17解：(1)由题意得：在Rt△ADC中，AD＝CDtan30°＝2133＝213≈36.33.在Rt△BDC中，BD＝CDtan60°＝213＝73≈12.11，所以AB＝AD－BD≈36.33－12.11＝24.22≈24.2(米)．(2)校车从A到B用时2秒，所以该车速度约为24.2÷2＝12.1(米/秒)．因为12.1×3600＝43560，所以该车速度约为43.56千米/时，大于40千米/时，所以此校车在AB路段超速．图28－2－1811.如图28－2－18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F.(1)求证：BD＝BF；(2)若CF＝1，cosB＝35，求⊙O的半径．解：(1)证明：连接OE.∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC.∴∠OEA＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝∠ACB，∴OE∥BC.∴∠OED＝∠F.∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠F＝∠ODE，∴BD＝BF.(2)设BC＝3x，则AB＝5x，又CF＝1，∴BF＝3x＋1，由(1)知BD＝BF，∴BD＝3x＋1，∴OE＝3x＋12，AO＝5x－3x＋12＝7x－12.∵OE∥BF.∴∠AOE＝∠B，∴OEOA＝35，即3x＋127x－12＝35，解之，得：x＝43.∴⊙O的半径为3x＋12＝52.第2课时方位角与坡度问题[见A本P86]1．如图28－2－19，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为(A)A.hsinαB.htanαC.hcosαD．h·sinα【解析】∵sinα＝hl，∴l＝hsinα.图28－2－19图28－2－202.河堤横断面如图28－2－20所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为(A)．A．12米B．43米C．53米D．63米图28－2－213.如图28－2－21是某水库大坝横断面示意图．其中AB，CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC＝120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是(A)A.253mB．25mC.252mD.5033m4．如图28－2－22，小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米的B处，测得江中灯塔在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为__2003__米．【解析】过P作PD⊥AB于D，在Rt△APD中，PD＝AD·tan30°，在Rt△BPD中，PD＝BD·tan60°，∴(400＋BD)×33＝BD×3，∴BD＝200米，∴PD＝3BD＝2003米．图28－2－225．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶3，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，则两个坡角的和为__75°__．§xx§【解析】设两个坡角分别为α、β，坝内斜坡的坡度i＝1∶3，即tanα＝13＝33，α＝30°；坝外斜坡的坡度i＝1∶1，即tanβ＝11＝1，β＝45°，α＋β＝30°＋45°＝75°.图28－2－236．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图28－2－23位置时，AB＝3m．已知木箱高BE＝3m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.解：连结AE，在Rt△ABE中，已知AB＝3，BE＝3，∴AE＝AB2＋BE2＝23又∵tan∠EAB＝BEAB＝33，∴∠EAB＝30°在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝60°，∴EF＝AE·sin∠EAF＝23×sin60°＝23×32＝3答：木箱端点E距地面AC的高度是3m.图28－2－247．某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图28－2－24)．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去，若CD＝40米，B处在C处的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，那么谁先到达B处？请说明理由(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)．【解析】在直角△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙到达B处所需的时间，比较二者之间的大小即可．解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°，∵tan∠BCD＝BDCD，∴BD＝CD·tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)．∵cos∠BCD＝CDBC，∴BC＝CDcos∠BCD＝40cos55°≈70.2(米)．∴t甲＝57.22＋10＝38.6(秒)，t乙＝70.22＝35.1(秒)．∴t甲t乙．答：乙先到达B处．8．如图28－2－25，学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比改为1∶3(即CD与BC的长度之比)，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.图28－2－25【解析】在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得BC，AC的长，然后在Rt△BCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据AD＝AC－CD即可求解．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴AC＝12AB＝6，BC＝AB·cos∠ABC＝12×32＝63.∵斜坡BD的坡比是1∶3，∴CD＝13BC＝23，∴AD＝AC－CD＝6－23.答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6－23)米．9．如图28－2－26，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD.(i＝CE∶ED，单位：m)图28－2－26【解析】作BF⊥AD于点F，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在Rt△CED中，利用坡比的定义即可求得ED的长，进而即可求得AD的长．解：如图所示，过点B作BF⊥AD于点F，可得矩形BCEF，∴EF＝BC＝4，BF＝CE＝4.在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AB＝5，BF＝4，由勾股定理可得AF＝AB2－BF2＝52－42＝3.又∵在Rt△CED中，i＝CEED＝12，∴ED＝2CE＝2×4＝8.∴AD＝AF＋FE＋ED＝3＋4＋8＝15(m)．图28－2－2710．如图28－2－27，C岛位于我国南海A港口北偏东60°方向，距A港口602海里处．我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°的方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意，得∠CAD＝30°，∠CBD＝45°，∴CD＝AC·sin∠CAD＝602×12＝