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应用举例第1课时仰角、俯角与圆弧问题[见B本P84]1.身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛,四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的),则四名同学所放的风筝中最高的是(D)同学甲乙丙丁放出风筝线长140m100m95m90m线与地面夹角30°45°45°60°A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】设风筝的线长、风筝高分别为l,h,线与地面的夹角为α,所以h=lsinα,代入计算,比较大小.2.如图28-2-9,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20米,到达点C,再次测得A点的仰角为60°,则物体AB的高度为(A)A.103米B.10米C.203米D.2033米图28-2-93.如图28-2-10,在两建筑物正中间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底G点为BC的中点,则矮建筑物的高CD为(A)A.20米B.103米C.153米D.56米图28-2-104.如图28-2-11,⊙O的半径为4cm,PA,PB是⊙O的两条切线,∠APB=60°,则AP=__43__cm__.图28-2-115.如图28-2-12,在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°,底部D处的俯角为45°,则这个建筑物的高度CD=__73+21__米(结果可保留根号).图28-2-126.如图28-2-13,为测量江两岸码头B,D之间的距离,从山坡上高度为50米的点A处测得码头B的俯角∠EAB为15°,码头D的俯角∠EAD为45°,点C在线段BD的延长线上,AC⊥BC,垂足为C,求码头B,D之间的距离(结果保留整数,参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27).图28-2-13解:∵AE∥BC,∴∠ADC=∠EAD=45°.又∵AC⊥CD,∴CD=AC=50.∵AE∥BC,∴∠ABC=∠EAB=15°.又∵tan∠ABC=ACBC,∴BC=ACtan∠ABC≈185.2,∴BD=BC-CD≈185.2-50≈135(米).答:码头B,D之间的距离约为135米.图28-2-147.天封塔历史悠久,是宁波著名的文化古迹.如图28-2-14,从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A,B的俯角分别为45°和60°,若此观测点离地面的高度为51米,A,B两点在CD的两侧,且点A,D,B在同一水平直线上,求A,B之间的距离(结果保留根号)解:由题意得,∠ECA=45°,∠FCB=60°,∵EF∥AB,∴∠CAD=∠ECA=45°,∠CBD=∠FCB=60°,∵∠ADC=∠CDB=90°,在Rt△CDB中,tan∠CBD=CDBD,∴BD=51tan60°=173米,∵AD=CD=51米,∴AB=AD+BD=51+173.答:A,B之间的距离为(51+173)米.8.如图28-2-15,甲楼AB的高度为123m,自甲楼楼顶A处,测得乙楼顶端C处的仰角为45°,测得乙楼底部D处的俯角为30°,求乙楼CD的高度(结果精确到0.1m,3取1.73).图28-2-15第8题答图解:如图,过点A作AE⊥CD于点E,根据题意,∠CAE=45°,∠DAE=30°.在Rt△ADE中,DE=AB=123,∠DAE=30°,∴AE=3DE=1233.在Rt△ACE中,由∠CAE=45°,得CE=AE=1233,∴CD=CE+DE=123(3+1)≈335.8(m).答:乙楼CD的高度为335.8m.图28-2-169.如图28-2-16,小明为了测量小山顶上的塔高,他在A处测得塔尖D的仰角为45°,再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处,测得塔尖D的仰角为60°,塔底E的仰角为30°,求塔高。(精确到0.1米,3≈1.732)解:∵在山脚B处测得塔尖D的仰角为60°,塔底E的仰角为30°。∴∠DBC=60°,∠EBC=30°∴∠DBE=∠DBC-∠EBC=60°-30°=30°又∵∠BCD=90°∴∠BDC=90°-∠DBC=90°-60°=30°即∠BDE=30°∴∠BDE=∠DBE,BE=DE.设EC=x,则BE=2EC=2x,BC=BE2-EC2=(2x)2-x2=3xDE=BE=2x,DC=EC+DE=x+2x=3x又∵在A处测得塔尖D的仰角为45°,AB=73.2∴△ACD为等腰直角三角形,即AC=DC=3x,BC=AC-AB=3x-73.2∴3x=3x-73.2,即1.732x=3x-73.2,2.268x=73.2,x≈32.3(米)故塔高约为64.6米.10.校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验(如图28-2-17):先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A,B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°.(1)求AB的长(精确到0.1米,参考数据:3≈1.73,2≈1.41);(2)已知本路段对校车限速为40千米/时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速?说明理由.图28-2-17解:(1)由题意得:在Rt△ADC中,AD=CDtan30°=2133=213≈36.33.在Rt△BDC中,BD=CDtan60°=213=73≈12.11,所以AB=AD-BD≈36.33-12.11=24.22≈24.2(米).(2)校车从A到B用时2秒,所以该车速度约为24.2÷2=12.1(米/秒).因为12.1×3600=43560,所以该车速度约为43.56千米/时,大于40千米/时,所以此校车在AB路段超速.图28-2-1811.如图28-2-18,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长DE交BC的延长线于点F.(1)求证:BD=BF;(2)若CF=1,cosB=35,求⊙O的半径.解:(1)证明:连接OE.∵AC与⊙O相切于点E,∴OE⊥AC.∴∠OEA=90°.∵∠ACB=90°,∴∠OEA=∠ACB,∴OE∥BC.∴∠OED=∠F.∵OE=OD,∴∠OED=∠ODE,∴∠F=∠ODE,∴BD=BF.(2)设BC=3x,则AB=5x,又CF=1,∴BF=3x+1,由(1)知BD=BF,∴BD=3x+1,∴OE=3x+12,AO=5x-3x+12=7x-12.∵OE∥BF.∴∠AOE=∠B,∴OEOA=35,即3x+127x-12=35,解之,得:x=43.∴⊙O的半径为3x+12=52.第2课时方位角与坡度问题[见A本P86]1.如图28-2-19,某游乐场一山顶滑梯的高为h,滑梯的坡角为α,那么滑梯长l为(A)A.hsinαB.htanαC.hcosαD.h·sinα【解析】∵sinα=hl,∴l=hsinα.图28-2-19图28-2-202.河堤横断面如图28-2-20所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比为1∶3,则AB的长为(A).A.12米B.43米C.53米D.63米图28-2-213.如图28-2-21是某水库大坝横断面示意图.其中AB,CD分别表示水库上下底面的水平线,∠ABC=120°,BC的长是50m,则水库大坝的高度h是(A)A.253mB.25mC.252mD.5033m4.如图28-2-22,小明同学在东西方向的沿江大道A处,测得江中灯塔P在北偏东60°方向上,在A处正东400米的B处,测得江中灯塔在北偏东30°方向上,则灯塔P到沿江大道的距离为__2003__米.【解析】过P作PD⊥AB于D,在Rt△APD中,PD=AD·tan30°,在Rt△BPD中,PD=BD·tan60°,∴(400+BD)×33=BD×3,∴BD=200米,∴PD=3BD=2003米.图28-2-225.某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度i=1∶3,坝外斜坡的坡度i=1∶1,则两个坡角的和为__75°__.§xx§【解析】设两个坡角分别为α、β,坝内斜坡的坡度i=1∶3,即tanα=13=33,α=30°;坝外斜坡的坡度i=1∶1,即tanβ=11=1,β=45°,α+β=30°+45°=75°.图28-2-236.一个长方体木箱沿斜面下滑,当木箱滑至如图28-2-23位置时,AB=3m.已知木箱高BE=3m,斜面坡角为30°,求木箱端点E距地面AC的高度EF.解:连结AE,在Rt△ABE中,已知AB=3,BE=3,∴AE=AB2+BE2=23又∵tan∠EAB=BEAB=33,∴∠EAB=30°在Rt△AEF中,∠EAF=∠EAB+∠BAC=60°,∴EF=AE·sin∠EAF=23×sin60°=23×32=3答:木箱端点E距地面AC的高度是3m.图28-2-247.某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图28-2-24).救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况,发现其正北方向的B处有人发出求救信号.他立即沿AB方向径直前往救援,同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C处入海,径直向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处,再向B处游去,若CD=40米,B处在C处的北偏东35°方向,甲、乙的游泳速度都是2米/秒,那么谁先到达B处?请说明理由(参考数据:sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43).【解析】在直角△CDB中,利用三角函数即可求得BC,BD的长,则可求得甲、乙到达B处所需的时间,比较二者之间的大小即可.解:由题意得∠BCD=55°,∠BDC=90°,∵tan∠BCD=BDCD,∴BD=CD·tan∠BCD=40×tan55°≈57.2(米).∵cos∠BCD=CDBC,∴BC=CDcos∠BCD=40cos55°≈70.2(米).∴t甲=57.22+10=38.6(秒),t乙=70.22=35.1(秒).∴t甲t乙.答:乙先到达B处.8.如图28-2-25,学校校园内有一小山坡AB,经测量,坡角∠ABC=30°,斜坡AB长为12米,为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD的坡比改为1∶3(即CD与BC的长度之比),A,D两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度AD.图28-2-25【解析】在Rt△ABC中,利用三角函数即可求得BC,AC的长,然后在Rt△BCD中,利用坡比的定义求得CD的长,根据AD=AC-CD即可求解.解:在Rt△ABC中,∠ABC=30°,∴AC=12AB=6,BC=AB·cos∠ABC=12×32=63.∵斜坡BD的坡比是1∶3,∴CD=13BC=23,∴AD=AC-CD=6-23.答:开挖后小山坡下降的高度AD为(6-23)米.9.如图28-2-26,一段河坝的横断面为梯形ABCD,试根据图中的数据,求出坝底宽AD.(i=CE∶ED,单位:m)图28-2-26【解析】作BF⊥AD于点F,在Rt△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长,在Rt△CED中,利用坡比的定义即可求得ED的长,进而即可求得AD的长.解:如图所示,过点B作BF⊥AD于点F,可得矩形BCEF,∴EF=BC=4,BF=CE=4.在Rt△ABF中,∠AFB=90°,AB=5,BF=4,由勾股定理可得AF=AB2-BF2=52-42=3.又∵在Rt△CED中,i=CEED=12,∴ED=2CE=2×4=8.∴AD=AF+FE+ED=3+4+8=15(m).图28-2-2710.如图28-2-27,C岛位于我国南海A港口北偏东60°方向,距A港口602海里处.我海监船从A港口出发,自西向东航行至B处时,接上级命令赶赴C岛执行任务,此时C岛在B处北偏西45°的方向上,海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进,则从B处到达C岛需要多少小时?解:过点C作CD⊥AB于点D,由题意,得∠CAD=30°,∠CBD=45°,∴CD=AC·sin∠CAD=602×12=
本文标题:初中数学【9年级下】九年级数学下册 28.2.2 应用举例同步测试 (新版)新人教版 (56)
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