初中数学【9年级下】中考数学强化训练--反比例函数的图象与性质

反比例函数的图象与性质1．已知反比例函数y＝10x，当1＜x＜2时，y的取值范围是(C)A.0＜y＜5B.1＜y＜2C.5＜y＜10D.y＞102．正比例函数y＝6x的图象与反比例函数y＝6x的图象的交点位于(D)A.第一象限B．第二象限C.第三象限D.第一、三象限3．如图，A，B两点在双曲线y＝4x上，分别经过A，B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1＋S2＝(D)A.3B.4C.5D.6,(第3题图)),(第4题图))4．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(kg/m3)与体积V(m3)满足函数表达式ρ＝kV(k为常数，k≠0)，其图象如图所示，则k的值为(A)A.9B.－9C.4D.－45．如图，正比例函数y1与反比例函数y2交于点E(－1，2)，若y1＞y2＞0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是(A),(第5题图)),(第6题图))6．以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y＝3x经过点D，则正方形ABCD的面积是(C)A.10B.11C.12D.137．已知反比例函数y＝6x在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连结AO，AB，且AO＝AB，则S△AOB＝__6__．,(第7题图)),(第8题图))8．如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝kx的图象上，OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的边长为__2__．9．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝bx的图象有一个公共点A(1，2)．(1)求这两个函数的表达式．(2)画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．,(第9题图))解：(1)把点A(1，2)的坐标代入y＝ax，得a＝2，∴正比例函数的表达式为y＝2x.把点A(1，2)的坐标代入y＝bx，得b＝1×2＝2，∴反比例函数的表达式为y＝2x.(2)如解图，当－1＜x＜0或x＞1时，正比例函数值大于反比例函数值．,(第9题图解))拓展提高10．已知k10k2，则函数y＝k1x－1和y＝k2x的图象大致是(A)解：∵k10，∴直线y＝k1x－1经过二、三、四象限，由此，可以排除选项B和D；又∵k2＞0，反比例函数y＝k2x的图象的两个分支分别在第一、三象限，只有选项A符合．由此确定答案只能选A.(第11题图)11．如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A，B两点，若反比例函数y＝kx(x＞0)的图象与△ABC的三边及内部有公共点，则k的取值范围是(A)A.2≤k≤9B.2≤k≤8C.2≤k≤5D.5≤k≤8解：∵点C(1，2)，BC∥y轴，AC∥x轴，∴当x＝1时，y＝－1＋6＝5；当y＝2时，－x＋6＝2，解得x＝4，∴点A，B的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)．根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小．设与线段AB交于点(x，－x＋6)时k值最大，则k＝x(－x＋6)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9.∵1≤x≤4，∴当x＝3时，k值最大，此时交点为(3，3)，则k的取值范围是2≤k≤9.12．下列图形中，阴影部分面积最大的是(C)(第12题图解)解：A.根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为xy＝3；B.根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为3；C.如解图，根据反比例函数系数k的几何意义，以及梯形面积求法可得出：阴影部分面积为(1＋3)×(3－1)÷2＝4；D.根据M，N两点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为12×1×6＝3，阴影部分面积最大的是4.故选C.13．如图，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)在函数y＝1x(x＞0)的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn－1An都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，An－1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数)，则点P3的坐标是(3＋2，3－2)；点Pn的坐标是(n＋n－1，n－n－1)(用含n的式子表示)．,(第13题图))解：可先求出点P1的坐标为(1，1)，过点P1作P1E⊥x轴于点E，过点P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G，根据△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3都是等腰直角三角形，可求出P1，P2，P3的坐标，从而总结出一般规律得出点Pn的坐标．(第14题图)14．如图，菱形OABC的顶点O是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点B，C均在第一象限，OA＝2，∠AOC＝60°，点D在边AB上．将四边形ODBC沿直线OD翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的点B′和点C′处，且∠B′DC′＝60°.若某反比例函数的图象经过点B′，则这个反比例函数的表达式为__y＝－33x__.(第14题图解)解：连结AC，∵四边形OABC是菱形，∴CB＝AB，∠CBA＝∠AOC＝60°.∴△BAC是等边三角形．∴BC＝BA.现将四边形OABC沿直线OD翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，∴BD＝B′D，BC＝B′C′，∠DB′C′＝∠ABC＝60°.∵∠B′DC′＝60°，∴∠DC′B′＝60°.∴△DC′B′是等边三角形．∴B′C′＝B′D.∴BD＝B′C′＝BC＝BA，从而知道点A和点D重合．∴四边形OABC与四边形OAB′C′关于x轴对称．∴B，B′两点关于x轴对称．过点B作BE⊥x轴于点E，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB＝OC＝2，∠BDE＝∠AOC＝60°.∴AE＝AB·cos60°＝1，BE＝AE·tan60°＝3，则OE＝OA＋AE＝3.∴点B的坐标为(3，3)，则点B′的坐标为(3，－3)．设经过点B′反比例函数的表达式是y＝kx，则－3＝k3，k＝－33，∴得y＝－33x.(第15题图)15．如图，反比例函数y＝kx的图象经过点A(－1，4)，直线y＝－x＋b(b≠0)与双曲线y＝kx在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴，y轴分别相交于C，D两点．(1)求k的值．(2)当b＝－2时，求△OCD的面积．(3)连结OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ＝S△OCD?若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵反比例函数y＝kx的图象经过点A(－1，4)，∴k＝－1×4＝－4.(2)当b＝－2时，直线的函数表达式为y＝－x－2，∵当y＝0时，－x－2＝0，解得x＝－2，∴点C(－2，0)．∵当x＝0时，y＝－x－2＝－2，∴点D(0，－2)．∴S△OCD＝12×2×2＝2.(3)存在．当y＝0时，－x＋b＝0，解得x＝b，则点C(b，0)，∵S△ODQ＝S△OCD，∴点Q和点C到OD的距离相等．∵点Q在第四象限，∴点Q的横坐标为－b，当x＝－b时，y＝－x＋b＝2b，则点Q(－b，2b)．∵点Q在反比例函数y＝－4x的图象上，∴－b·2b＝－4，解得b＝－2或b＝2(舍去)，∴b的值为－2.16．如图，已知点A(4，0)，B(0，43)，把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD＝30°，ED＝2，点G为边FD的中点．(第16题图)(1)求直线AB的函数表达式．(2)如图①，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y＝kx(k≠0)的函数表达式．(3)在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的表达式；如果不能，说明理由．解：(1)设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b，∵点A(4，0)，B(0，43)，∴4k＋b＝0，b＝43，解得k＝－3，b＝43.∴直线AB的函数表达式为y＝－3x＋43.(2)∵在Rt△DEF中，∠EFD＝30°，ED＝2，∴EF＝23，DF＝4.∵点D与点A重合，∴点D(4，0)，∴点F(2，23)，∴点G(3，3)．∵反比例函数y＝kx经过点G，∴k＝33，∴反比例函数的表达式为y＝33x.(3)经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，理由如下：∵点F在直线AB上，∴设点F(t，－3t＋43)．又∵ED＝2，∴点D(t＋2，－3t＋23)．∵点G为边FD的中点．∴G(t＋1，－3t＋33)，若过点G的反比例函数的图象也经过点F，设此时表达式为y＝mx，则－3t＋33＝mt＋1，－3t＋43＝mt整理，得(－3t＋33)(t＋1)＝(－3t＋43)t，解得t＝32，∴m＝1534，∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数的表达式为y＝1534x.(第17题图)17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点B的坐标为(2，2)，反比例函数y＝kx(x＞0，k≠0)的图象经过线段BC的中点D.(1)求k的值．(2)若点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D重合)，过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的表达式并写出x的取值范围．解：(1)依题意知点B的坐标为(2，2)，得CB的长为2，且点D的纵坐标为2.又∵点D为BC的中点，∴点D的坐标为(1，2)，代入y＝kx，解得k＝2.(2)分点P在点D的下方和上方，即x＞1和0＜x＜1两种情况讨论：①如解图①，依题意得，点P的坐标为x，2x，∴PR＝x，PQ＝2－2x，∴S＝PR·PQ＝x2－2x＝2x－2.,(第17题图解①)),(第17题图解②))②如解图②，依题意得，点P的坐标为x，2x，∴PR＝x，PQ＝2x－2，∴S＝PR·PQ＝x2x－2＝2－2x.综上，S＝2x－2（x＞1），2－2x（0＜x＜1）.