初中数学【9年级下】专训2　比例式或等积式的技巧

专训2证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似；若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．构造平行线法1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F.求证：AE·CF＝BF·EC.(第1题)2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F.求证：AB·DF＝BC·EF.(第2题)三点定型法[来源:学&科&网Z&X&X&K]3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.求证：DCAE＝CFAD.(第3题)[来源:学科网ZXXK]4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2＝MD·ME.(第4题)构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.(第5题)等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.(第6题)7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.(第7题).两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：BFBE＝ABBC.(第8题)9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：(1)△AMB∽△AND；(2)AMAB＝MNAC.(第9题)等积代换法10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AEAF＝ACAB.(第10题)等线段代换法11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F.求证：BP2＝PE·PF.(第11题)12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2＝PB·PC.(第12题)答案1．证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.∴BFCF＝BDCM.又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.∴AEEC＝ADCM.∵D为AB的中点，∴BD＝AD.[来源:Zxxk.Com]∴BDCM＝ADCM.∴BFCF＝AEEC，即AE·CF＝BF·EC.(第1题)(第2题)2．证明：如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G，易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.∴EFDF＝CEDG，ABBC＝ADDG.∵AD＝CE，∴CEDG＝ADDG.∴ABBC＝EFDF，即AB·DF＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AE∥DC.∴∠CDF＝∠E.∴△FCD∽△DAE.∴DCAE＝CFAD.4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D，即∠EAM＝∠D.又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA.∴AMMD＝MEAM，即AM2＝MD·ME.(第5题)5．证明：如图，连接PM，PN.∵MN是AP的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.∴BPCN＝BMCP，即BP·CP＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ACB＋∠FED＝180°，∠ABC＋∠EDB＝180°.∴∠FED＝∠EDB.又∵∠EDF＝∠DBE，∴△DEF∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得DEBD＝EFDE，即DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝∠EFD.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴DGDE＝DEDF，即DE2＝DG·DF.∴DG·DF＝DB·EF.7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.∴AEDE＝PEBE.即AE·BE＝PE·DE.又∵∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°，[来源:学。科。网Z。X。X。K]∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.∴AECE＝CEBE，即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.8．证明：由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE.∴△BDF∽△BAE.∴BDAB＝BFBE.∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.∴△ABC∽△DBA.∴ABBC＝BDAB.∴BFBE＝ABBC.9．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D.∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°.∴△AMB∽△AND.(2)由△AMB∽△AND得AMAN＝ABAD，∠BAM＝∠DAN.又∵AD＝BC，∴AMAN＝ABBC.∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠MAD＝∠AMB＝90°.∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°.∴∠B＝∠MAN.∴△AMN∽△BAC.∴AMAB＝MNAC.10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ABD∽△ADE.[来源:Z§xx§k.Com]∴ADAB＝AEAD，即AD2＝AE·AB.同理可得AD2＝AF·AC.∴AE·AB＝AF·AC.∴AEAF＝ACAB.11．证明：连接PC，如图所示．(第11题)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB.∴BP＝CP.∴∠1＝∠2.∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC.∴CPPE＝PFCP，即CP2＝PF·PE.∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.12．证明：如图，连接PA，(第12题)∵EP是AD的垂直平分线，∴PA＝PD.∴∠PDA＝∠PAD.∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA.∴PAPB＝PCPA.即PA2＝PB·PC.∵PA＝PD，∴PD2＝PB·PC.