初中数学【9年级下】专训3　相似三角形与函数的综合应用

专训3相似三角形与函数的综合应用名师点金：解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A(3，0)，B(0，3)两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D.(1)求直线AB对应的函数解析式；(2)若S梯形OBCD＝433，求点C的坐标；(3)在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(第1题)[来源:学科网]相似三角形与二次函数2．如图，直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C(1，0)三点．(1)求抛物线对应的函数解析式；[来源:学科网ZXXK](2)若点D的坐标为(－1，0)，在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．(第2题)[来源:学科网]3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C处，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)．(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)相似三角形与反比例函数4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝kx(x0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(1)求k的值及点E的坐标；(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB对应的函数解析式．(第4题)答案1．解：(1)设直线AB对应的函数解析式为y＝kx＋b，将A(3，0)，B(0，3)的坐标分别代入得3k＋b＝0，b＝3，解得k＝－33，b＝3.∴直线AB对应的函数解析式为y＝－33x＋3.(2)设点C的坐标为x，－33x＋3，[来源:学*科*网Z*X*X*K][来源:Z&xx&k.Com]那么OD＝x，CD＝－33x＋3.∴S梯形OBCD＝（OB＋CD）·OD2＝－36x2＋3x.由题意得－36x2＋3x＝433，解得x1＝2，x2＝4(舍去)．∴C2，33.(3)存在．当∠OBP＝90°时，如图①.易知OB＝3，OA＝3.(第1题①)Ⅰ.若△BOP1∽△OBA，则BP1OA＝BOOB，∴BP1＝OA＝3，∴P1(3，3)．Ⅱ.若△BP2O∽△OBA，则BP2OB＝BOOA，∴BP2＝OB2OA＝1，∴P2(1，3)．当∠OPB＝90°时，Ⅲ.若△P3BO∽△OBA(如图②)，过点P3作P3M⊥OA于点M.(第1题②)则P3BOB＝BOBA＝P3OOA又易知AB＝23，∴P3B＝OB2AB＝32，P3O＝OA·OBAB＝32.∴P3A＝23－32＝332.∵OP3·P3A＝P3M·OA，∴P3M＝334.∴OM＝34.∴P334，334.Ⅳ.若△P4OB∽△OBA(如图③)，则P4OOB＝OBBA，∴P4O＝32.又易得P4在P3M上，∴P4M＝34.(第1题③)∴P434，34.当∠BOP＝90°时，点P在x轴上，不符合要求．综上得，符合条件的点有四个，分别是：P1(3，3)，P2(1，3)，P334，334，P434，34.2．解：(1)由题意得A(3，0)，B(0，3)，∵抛物线经过A，B，C三点，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，得方程组9a＋3b＋c＝0，c＝3，a＋b＋c＝0，解得a＝1，b＝－4，c＝3，∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－4x＋3.(2)如图，由题意可得△ABO为等腰直角三角形．若△ABO∽△AP1D，则AOAD＝OBDP1，∴DP1＝AD＝4，∴P1(－1，4)；若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，∵△ABO为等腰直角三角形，∴△ADP2是等腰直角三角形，∴DM＝AM＝2＝P2M，即点M与点C重合，∴P2(1，2)，∴点P的坐标为(－1，4)或(1，2)．(第2题)3．解：(1)易得A(－1，0)，B(0，2)，C(1，0)．设直线BD对应的函数解析式为y＝kx＋m.把B(0，2)，C(1，0)的坐标分别代入y＝kx＋m，得m＝2，k＋m＝0，解得k＝－2，m＝2.∴直线BD对应的函数解析式为y＝－2x＋2.∵抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋bx＋c，∴把B(0，2)，D(3，－4)的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，得c＝2，－9＋3b＋c＝－4，解得b＝1，c＝2.∴抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋x＋2.(2)存在，①如图①，当△MON∽△BCO时，ONCO＝MNBO，即ON1＝MN2，∴MN＝2ON.设ON＝a，则M(a，2a)，∴－a2＋a＋2＝2a，解得a1＝－2(不合题意，舍去)，a2＝1，∴M(1，2)；②如图②，当△MON∽△CBO时，ONBO＝MNCO，即ON2＝MN1，∴MN＝12ON.设ON＝n，则Mn，12n，∴－n2＋n＋2＝n2，解得n1＝1－334(不合题意，舍去)，n2＝1＋334，∴M(1＋334，1＋338)．∴点M的坐标为(1，2)或1＋334，1＋338.(第3题)4．解：(1)在矩形OABC中，∵点B的坐标为(2，3)，∴BC边的中点D的坐标为(1，3)．∵双曲线y＝kx(x＞0)经过点D(1，3)，∴3＝k1，∴k＝3，∴双曲线对应的函数解析式为y＝3x.∵点E在AB上，∴点E的横坐标为2.又∵双曲线y＝3x经过点E，∴点E的纵坐标为y＝32，∴点E的坐标为2，32.(2)易得BD＝1，BE＝32，CB＝2.∵△FBC∽△DEB，∴BDFC＝BECB，即1FC＝322，∴CF＝43，∴OF＝53，即点F的坐标为0，53.设直线FB对应的函数解析式为y＝k1x＋b，而直线FB经过B(2，3)，F0，53，∴k1＝23，b＝53，∴直线FB对应的函数解析式为y＝23x＋53.