初中数学【9年级下】考点综合专题(一)：等腰三角形、圆中的相似问题

第二十七章相似考点综合专题(一)：等腰三角形、圆中的相似问题类型一录目页类型二◆类型一等腰三角形中的相似问题解题技巧：利用等腰三角形的性质寻找等角，从而得到相似．1．(2020·济宁中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．(1)求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(1)解：如图，作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP.(2)证明：∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，∴∠DPC＝∠ABC.∴PD∥AB.(2)在(1)的条件下，若∠APC＝2∠ABC.求证：PD∥AB.2．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB＝AD.(1)判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由；解：(1)△FDB∽△ABC，理由如下：∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB.∵ED垂直平分BC，∴EB＝EC.∴∠EBC＝∠ECB.∴△FDB∽△ABC.(2)∵△FDB∽△ABC，∴=FDDBABBC.∵ED垂直平分BC，∴1=2DBBC.(2)若AF＝2，求DF的长．∴1=2FDAB.∴1=2FDAD，即F为AD的中点．∴FD＝FA＝2.◆类型二圆中的相似三角形解题技巧：①利用或构造圆周角相等寻找相似三角形求解；②利用切线的性质和垂径定理寻找等角证相似．3．(2020·衢州中考)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．(1)求证：∠CAD＝∠CBA；(1)证明：∵AE＝DE，OC是半径，∴¼»=ACCD.∴∠CAD＝∠CBA.(2)解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∵AE＝DE，∴OC⊥AD.∴∠AEC＝90°.∴∠AEC＝∠ACB.(2)求OE的长．又∵∠CAD＝∠CBA，∴△AEC∽△BCA.∴=CEACACAB.∴6=610CE.∴CE＝3.6.∵OC＝12AB＝5，∴OE＝OC－EC＝5－3.6＝1.4.4．(2020·武汉模拟)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝10，AC＝5，D，E分别是边AC，AB上的点，⊙O经过点D，E，C，交BC边于点F，已知¼»=EFCD.(1)证明：如图，连接CE，∵¼»=EFCD，∴∠CED＝∠ECF.∴DE∥BC.∴∠DEA＝∠B.(1)求证：∠DEA＝∠B；(2)解：如图，连接EO并延长交⊙O于G，连接DG，∵EG是直径，∴∠EDG＝90°.(2)若AD＝3，求⊙O的半径．∵∠BAC＝90°，∠EGD＝∠ECA，∴△DEG∽△AEC.∴=EGDEECAE.∵DE∥BC，∴3==105AEADAEABAC，即.∴AE＝6，则BE＝10－6＝4.∴由勾股定理可知DE＝35，CE＝61.=35=661EGDEECAEEG.∵，∴∴EG＝3052.∴⊙O的半径是3054.