初中数学【9年级下】专题4：相似与三角函数

中考热点专题专题四：相似与三角函数1．如图，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB＝3，BC＝1，连接BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R.(1)证明：由题意知BC＝CE＝EG＝1，BG＝3，FG＝AB＝3.在△BFG和△FEG中，∵FGEG＝BGFG＝3，∠G＝∠G，∴△BFG∽△FEG.(1)求证：△BFG∽△FEG；(2)解：如图，过F作FH⊥BG于点H，则∠FHG＝90°.(2)求sin∠FBG的值．∵△FEG是等腰三角形，∴EH＝GH＝12EG＝12.由勾股定理得FH＝FG2－GH2＝（3）2－（12）2＝112.∵△BFG∽△FEG，∴∠BFG＝∠FEG＝∠G.∴BF＝BG＝3BC＝3.∴sin∠FBG＝FHBF＝1123＝116.2．(2020·金华中考)如图，在△ABC中，AB＝42，∠B＝45°，∠C＝60°.解：(1)如图①，过点A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，AD＝AB·sin45°＝42×22＝4.(1)求BC边上的高线长；(2)点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连接EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF.①如图②，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数；(2)①∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP.∵AE＝EB，∴BE＝EP.∴∠EPB＝∠B＝45°.∴∠PEB＝90°.∴∠AEP＝180°－90°＝90°.②如图③，连接AP，当PF⊥AC时，求AP的长．②由(1)可知AC＝ADsin60°＝833.∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°.∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°.∴∠AFE＝∠B.∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB.∴AFAB＝AEAC，即AF42＝22833.∴AF＝23.在Rt△AFP，AF＝FP，∴AP＝2AF＝26.3．在∠ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12.(1)如图①，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N.若点B恰好是线段MN的中点，求tan∠BAM的值；解：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠M＝∠N＝90°.∴∠MAB＋∠ABM＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠NBC＋∠ABM＝90°.∴∠MAB＝∠NBC.∴△AMB∽△BNC.∴BNAM＝BCAB＝tan∠BAC＝12.∵点B是线段MN的中点，∴BM＝BN.∴在Rt△AMB中，tan∠BAM＝BMAM＝12.(2)如图②，P是边BC延长线上一点，∠APB＝∠BAC，求tan∠PAC的值．解：如图②，过点C作CD⊥AC交AP于点D，过点D作DE⊥BP于点E.∵tan∠BAC＝12，∠APB＝∠BAC，∴tan∠BAC＝BCAB＝12，tan∠APB＝ABBP＝12.设BC＝x，则AB＝2x，BP＝4x，CP＝BP－BC＝4x－x＝3x.同理，由(1)可得∠BAC＝∠ECD，∴∠APB＝∠ECD.∵DE⊥BP，∴CE＝EP＝12CP＝32x.同理，由(1)可得△ABC∽△CED，∴CDAC＝CEAB＝32x2x＝34.∴在Rt△ACD中，tan∠PAC＝CDAC＝34.