数学建模y05D仓库容量有限条件下的随机存贮管理-王智勇

徐州空军学院：王智勇，冯达，段建国2005年全国研究生数学建模竞赛一等奖11、问题分析工厂生产需要定期地订购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。无论是原料或商品，都是一个怎样存贮的问题。存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。根据存贮管理原理以及存贮费、订货费和缺货费的意义可知，为了保持一定的库存，要付出存贮费；为了补充库存，要付出订货费；当存贮不足发生缺货时，要付出缺货损失费。这三项费用之间是相互矛盾、相互制约的。存贮费与物资的数量和时间成正比，如降低存贮量，缩短存贮周期，自然会降低存贮费；但缩短存贮周期，就要增加订货次数，势必增大订货费支出；为了防止缺货现象的发生，就要增加安全库存量，这样在减少缺货损失费的同时，增大了存贮费的开支。2、模型假设为使研究模型简便，本文作如下假设:1)在商品销售过程中，因为，则首先销售租借仓库中的商品，待被销售完32CC≤后，再销售自己仓库中的商品，这样可以降低存贮费用。2)每次到货补充商品的过程是瞬间完成的，不考虑交货时间的影响[1]。3)商品间的销售不存在相关性，互不影响。4)在计划时段初（时刻），各种商品的总库存量为。0t=Q基于以上假设，本存贮模型的总损失费用包括每次订货的定货费[2]、库存存贮费和因缺货而减少销售要造成损失费。3、符号说明表1变量定义表变量含义单位备注C订货周期内的总费用元货币计量单位C订货周期内平均每天的费用元/天1C每次进货的订货费元/次2C用自己仓库存贮单位商品每天的存贮费用元/天.盒（袋）仅有一种商品时徐州空军学院：王智勇，冯达，段建国2005年全国研究生数学建模竞赛一等奖23C租借仓库存贮单位商品每天的存贮费元/天.盒（袋）仅有一种商品时4C单位商品缺货每天的损失费用元/天.盒（袋）仅有一种商品时2iC自己仓库存贮第种单位体积商品每天存贮费用i元/天.体积单位12im=LL、3iC租借仓库存贮第种单位体积商品每天存贮费i元/天.体积单位12im=LL、i4C第种单位体积商品缺货每天的损失费用i元/天.体积单位12im=LL、1t商品销售到的时刻0Q天2t订货点L的时刻天3t商品销售完毕的时刻天T从Q到补货的时间周期天不一定相同Q存贮量的固定值袋（盒）或体积0Q自己仓库用于存贮商品的最大容量袋（盒）或体积0iQ自己仓库用于存贮第种商品的体积容量i体积单位12im=LL、iQ第种商品存贮量补充到的固定体积值i体积单位12im=LL、L商品的订货点袋（盒）或体积iL第种商品的订货点i体积单位12im=LL、*L最优订货点体积单位m商品品种数量种x订货提前期天R销售速率（袋或盒）/天ir第种商品的销售速率i（袋或盒）/天m21iLL、=iv第种单位商品的体积i体积单位m21iLL、=()Px订货提前期的概率分布x对x进行概率统计徐州空军学院：王智勇，冯达，段建国2005年全国研究生数学建模竞赛一等奖34、模型建立与求解4.1问题1的解决问题1允许商品缺货，所以单位周期内存在缺货和不缺货两种基本情况，如图1所示，因此分两种情况进行分析求解，最后进行综合讨论。时间t存贮量0Q0QL1t2t3txT1tTx2t图1存贮量——时间图q模型一：当时，如图2所示，商品缺货的周期存贮费用Lxr时间t存贮量0Q0QL1t2t3tTx图2缺货情况下的存贮量——时间图q通过对图2的分析，建立在0～T时间段内的总损失费用的模型：徐州空军学院：王智勇，冯达，段建国2005年全国研究生数学建模竞赛一等奖4……（1）()()()()1313120130240ttTttECCCQtCQrtQdtCQrtdtCQrtdt=++--+---∫∫∫其中：rQQt01-=rLQt-=2rQt=32Ttx=+=+++（-）+()EC1C102tQC213C()0QQ-1t212C0Q3t1t24C()rtT23-令W=+++（-）1C102tQC213C()0QQ-1t212C0Q3t1t则()()22443()22CCrLECWTtrWxr=+-=+-取，LxZr-=总损失费用最小即平均损失费用最小：()2412E(T)==WCrZECCQTZr+⎡⎤⎣⎦+令2434231()()()20()CrZtZWCrZdECdZtZ+-+==+也就是：2434220WCrZtCrZ+-=解得：23342WLZttxCrr=+-=-得到缺货情况下的最优订货点：…………………………（2）22334422WWrLrxttQrxQCrC*⎛⎞=+-+=+-+⎜⎟⎜⎟⎝⎠模型二：当时，如图3所示，商品不缺货的周期存贮费用Lxr徐州空军学院：王智勇，冯达，段建国2005年全国研究生数学建模竞赛一等奖5时间t存贮量0Q0QL1t2tTx图3不缺货情况下的存贮量——时间图q通过对图3的分析，建立了不缺货情况下0～T时间段内的总损失费用的模型：………………（3）()()()1112013020tTtECCCQtCQrtQdtCQrtdt=++--+-∫∫即：()1320121122ECC(CC)(QQ)tCT(QLrx)=+--++-其中，rQQt01-=xrLQT+-=令，则1023121)tQ)(QC(CCW--+=()212ECWCT(QLrx)=++-单位周期内的平均总费用为：2222111()[()]()22CCECTWCTQLrxWQLrxTTTr⎧⎫⎡⎤⎡⎤==++-=+--⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭令'2222()()02[()]2CCdCWTWrdLTQLrx-=+=+=--解得：222[()]rWQLrxC--=………………………………………（4）22rWLQrxC*=+-特殊情况：当时，Lxr=Lrx*=模型三：徐州空军学院：王智勇，冯达，段建国2005年全国研究生数学建模竞赛一等奖6将模型一、模型二两种情况综合，其损失费用的数学期望为：()()()0()()LrbaLxxrECECPxECPx∞===+∑∑说明：分别指符合模型一、模型二情况的单位周期内的总损失费用。()()abC,CEE将（1）和（3）带入公式求得…(5)()()()()()()1113131201302000120130240()()()()LLrrtTbatLxxxrttTttLxrECCPxCPxCCQtCQrtQdtCQrtdtPxCCQtCQrtQdtCQrtdtCQrtdtPx∞===∞=⎡⎤=+=++--+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤+++--+---⎢⎥⎣⎦∑∑∑∫∫∑∫∫∫很明显，则周期T内的总损失费用的一般模型为：0()1xPx∞==∑()()()()()()13131201302400LrttTttLxxrECCCQtCQ-rt-QdtCQrtdtPxCQrtdtPx∞===+++---∑∑∫∫∫平均每天的损失费用为：()()()()()()()()()1313120130240020120301204011111()222LrttTttLxxrLriLxxrECCCQtCQ-rt-QdtCQrtdtPxCQrtdtPxTQLLCCQtCQ-QtCQLrxxPxCrxPxTrr∞==∞==⎡⎤⎢⎥=+++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎛⎞⎛⎞⎢⎥=++++-++-⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦∑∑∫∫∫∑∑()()()()()/0/LrbaxxLrECECpxECpx∞===+∑∑经过求解得：……………(6)()()/20/2422()LrbaxxLrrWWrLQrExpxQpxCC∞*===+-++∑∑4.2问题2的解决：商品一的统计分析：康师傅精装巧碗香菇炖鸡面订货后到达天数的实验数据为：337123303463143325232532330343145431（总数：36）徐州空军学院：王智勇，冯达，段建国2005年全国研究生数学建模竞赛一等奖7表2康师傅精装巧碗香菇炖鸡面订货后到达天数的概率分布那么这种商品的订货到达天数的数学期望值为：()2.972222Ex=盒；盒；天盒元天；盒元天；盒元元；天；盒由题意可知：60Q40Q./95.0c./02.0c./01.0c10c/12r04321=======由LINGO编程（见附录1），解得L=[36.912]=37盒。商品二的统计分析：心相印手帕纸10小包装订货后到达天数的实验数据为：4233222222223212432322423433232322132532422（总数：43）表3心相印手帕纸10小包装订货后到达天数的概率分布那么这种商品的订货到达天数的数学期望值为：()2.534884Ex=盒；盒；天盒元天；盒元天；盒元元；天；盒由题意可知：60Q40Q./1.50c./04.0c./03.0c10c/15r04321=======由LINGO编程，解得L=[40.01]=40盒商品三的统计分析：重汇香米5KG装订货后到达天数的实验数据为：3442332212111211111122511121111112212233122122121211232563431（总数：61）提前期01234567频次245155311概率分布1/182/185/365/125/361/121/361/36提前期12345频次2231251概率分布2/4323/4312/435/431/43徐州空军学院：王智勇，冯达，段建国2005年全国研究生数学建模竞赛一等奖8表4重汇香米5KG装订货后到达天数的概率分布那么这种商品的订货到达天数的数学期望值为：()1.9507Ex=袋；袋；天袋元袋天；元盒袋天；元元；天；袋由题意可知：40Q20Q./1.25C/08.0C/06.0C10C/20r04321=======由LINGO编程，解得L=[38.52]=39袋4.3问题3的解决：模型四：模型的假设：1）第种商品的存贮量是，则销售完的时间，为方便讨论，现假设iiQiiiiQtrv=，，即第件商品在到货的时候恰好销售完；123mtttt≤≤≤LktT=k2）种商品相互独立，互不影响；m3）种商品同时进货，同时到货；m根据模型三，可以得到第种商品的存贮费用：i()iEC()()()()()()13131201302400iiiiiLrttTiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiittLxxrCECCvQtCvQ-rvt-QdtCvQrvtdtPxCvQrvtdtPxm∞===+++---∑∑∫∫∫所以总的存贮费用：()EC()()()()()()13131201302400iiiiiLmrttTiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiittLiixxrECCCvQtCvQ-rvt-QdtCvQrvtdtPxCvQrvtdtPx∞===⎡⎤⎢⎥=+++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∫∫∫根据已知条件，可以得出数学模型：()()minECECT=提前期123456频次27208321概率分布27/6120/618/613/612/611/610.44260.65570.39340.19670.16390.0984徐州空军学院：王智勇，冯达，段建国2005年全国研究生数学建模竞赛一等奖9……………（7）1001123miimiikmiiiiiiikiiimiiQQQQrvtrvTQQtttttrv====⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎪⎪=≤≤≤⎪⎩∑∑∑∑LL根据假设，表示存储的第种商品可以销售的天数iti（1）考虑到种商品同时订货，同时到货，所以种商品可以理解为订货点和周mm期相同，即相等，这样各个商品的周期损失费用就有大小之分，我们可以将这种商Tm品的周期损失费用进行升序排列。当自己的仓库用于存贮这种商品时，周期损失费用包括订货费、自己仓库的存贮m费和可能发生的缺货损失费，可以理解为每天销售的第种商品的自己仓库存贮费2iiiCrvi用，可以理解为每天缺货的第种商品的缺货费用，根据的值对这4iiiCrvi()42iiiiiiCrvCrv-种商品进行升序排列，为使得总损失费用最小，先将最小的商品满足m()42i