数学建模食品安全的抽检问题

1论文题目：2013年“深圳杯”数学建模夏令营A题食品质量安全抽检数据分析：队员信息姓名班级学号2食品安全的抽检问题摘要食品的质量和卫生问题是关系到民生的大问题，因此，对食品的检查显得非常重要。本文结合实际，应用AHP方法、分层抽样和线性目标规化方法，建立了集时间、费用和效果为一体的数学模型，具体如下。对于问题一，我们首先将主要食品进行分类，然后将影响食品安全的因素主要分为生物性污染、化学性污染、物理性污染三大类，并将这三类污染所造成的主要危害归纳为七类，接着采用AHP法对问题进行定量分析，最后通过一致性检验并得出其危害性的大小，得到结果细菌危害最严重，食品添加剂导致的危害次之等。对于问题二，针对部分主要产品，我们先采用了分层抽样的方法对不同品牌不同批次的产品进行抽检，建立了样本分配率、样本方差、总体抽样率、分层抽样率等函数方程，然后对上一步所抽到的批次利用线性目标规划的方法，建立了集时间较短、成本费用较低和抽样效果较好的抽检模型——线性目标规划模型，并利用统计学原理对检测误差进行分析。最后，我们根据模型针对乳制品中的酸奶进行模拟检验，检验的结果误差百分比为4.24%5%，可靠性较高。对于问题三，我们利用问题二所建立的模型制订了一种较为合理的抽检方案（根据假设总共抽检79个批次，每个批次抽检2个项目）。然后，我们进行了可靠性分析，抽检的误差百分比为1.15%5%，可靠性较高。对于问题四，它实际是在问题三的基础上，对面粉进行多次跟踪抽检。我们对问题二所建立的模型进行了改进，引入新的变量建立函数关系，并运用MATLAB优化工具箱进行求解，得出了最佳的抽检策略和抽检数量（结果为跟踪抽检3次，共抽检113个批次），所得结果可靠性较高、成本较低，且工时比较少，用计算机进行模拟检验时效果比较乐观。最后，我们对模型的优缺点进行了评价，讨论了其推广应用的价值，并主管部门写了一份报告，提出了一些解决问题的可行性建议，可为主管部门和市民提供一些参考。关键词：AHP法，分层抽样，目标规划、统计分析、可靠性3一问题的重述改革开放三十年来，我国人民生活水平在不断地提高，食品安全和卫生问题越来越受到人们的关注。近几年来，先后出现了苏丹红、瘦肉精、三聚氰胺等事件，以及各种不利于健康的食品添加剂、强化剂问题的出现，食品安全和卫生的检测已成为全社会，乃至政府有关部门重点关注的问题之一。食品的质量和卫生问题涉及到原材料的使用、生产加工、运输与贮存、流通与销售等环节，在每一个环节上出现差错，都会导致食品出现安全和卫生问题，食品质量和卫生的检测工作在实际显得非常重要。但是，由于食品的种类、品牌和批次繁多，从生产加工到销售食用中间环节复杂，质检部门不可能对所有食品做到全面的质量检测，一般只能做一定的抽检。当然，对食品进行抽检也需要一定人力、物力和财力（即成本费用），抽检的越多检测效果就越好，但需要的时间就越长，其成本费用也就越高。为此，应该如何抽检，既能保证较好的检测效果，又能节省时间和成本费用？请根据实际情况，建立数学模型分析研究下列问题：（1）根据主要食品的分类，试分析影响各类食品安全的因素，对其可能的危害性做出定量的比较评估分析。（2）针对部分主要食品，结合实际建立合理的抽检模型，给出检测误差（即检测的可靠性）分析的方法，并对模型进行模拟检验。（3）面粉是我国中北部地区主要的主食原材料，不妨就已推广食用的“营养强化面粉”抽检问题进行讨论，“营养强化面粉”的配方标准如表1所示。假设某地区现有12个品牌的营养强化面粉产品，每个品牌每月将有不少于60个批次（即同一企业、同一条生产线、同一批投料、同一班次生产的产品为1个批次）的产品在市场上销售，质检部门要做一次全面的质量检查，请你帮助制订一种合理的抽检方案，并分析其检测的可靠性。所需要检验项目、标准、成本和工时如表2所示。（4）针对问题（3），如果质检部门需要连续进行多次跟踪抽检，请你给出相应的抽检策略和最佳的抽检数量，使其检测可靠性尽量高、成本尽量低、工时尽量少，并用计算机进行模拟检验。（5）请根据你们的研究，深入分析食品安全存在的隐患和根源，并提出有效可行的解决问题办法和建议，可供主管部门和市民参考。二模型的假设1、假设模型求解过程中所用的数据都是合理的；2、假设同一类食品每次抽检的项目数相同；3、假设不考虑抽检人数的限制；4、假设每天抽检的最大时间为法定工作时间8小时，一个月工作22天；5、假设抽检的最大费用有限制；4三符号约定()stVL-----总体均值L的估计量（st表示分层）；iW------------层权（/iLL）,i=1,2…N;L-------------抽样系统中总的生产批次；iL------------第i层生产批次数；iL----------第i层的样本均值；il-------------第i层抽取的样本量；2iS------------第i层的方差；if-------------第i层的抽样比（il/iL）；-------------为L在1-置信水平下的绝对误差限；u------------标准整天分布的双侧分位数；ic-------------第i层每个样本单位的平均费用；it-------------第i层每个样本单位的平均检验工时；0C-------------固定费用；-------------每个抽检批次的检查项目；MaxT----------抽检的最长时间；MaxP-----------抽检的最大费用；Max-----------抽检的总项目数；t------------每次每项抽检的平均时间；p-----------每次每项抽检的平均费用；5四问题的分析与模型的建立4.1对问题一的分析与模型建立4.1.1问题一的分析为了分析与比较影响食品安全因素所产生的危害程度，首先我们将主要食品分为：肉制品、乳制品、酿造食品和蛋白质含量较高食品等；接着分析确定影响食品安全的因素，我们从微生物污染、化学污染和物理污染三方面进行分析与确定；然后对于各因素影响食品产生的危害，其一是由微生物污染导致的细菌危害、病毒危害和寄生虫危害；其二是由化学污染引起的食品添加剂（如非食用添加剂）导致的危害、环境污染（如农药，包括灭鼠药和兽医用药）导致的化学危害和天然存在的化学危害；其三是由物理性污染引起的重金属中毒等危害。因此，问题一就可以归结为各因素影响食品导致的危害对食品质量的影响权重问题。解决这类问题首先要统计分析各类影响指标的数值特征。然后再对其进行归一化处理，并利用层次分析法对其权重进行赋值。最终得到各因素对食品安全的影响排名。4.1.2问题一的模型建立（1）根据影响食品安全的各因素与危害间的关系，我们建立的不完全层次分析算法的基本结构图如下：食品安全细菌危害病毒危害物理污染目标层准则层方案层化学污染微生物污染寄生虫危害食品添加剂导致的危害环境污染导致的危害天然存在的化学危害重金属中毒等（2）根据对问题一的分析，我们建立了如下成对比较矩阵假设要比较某一层的n个因素nccc21,对上一个因素O的影响，取两个因素ic和jc，用ija表示ic和jc对o的影响之比，全部比较的结果可用成对比较矩阵：6nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211，ijjiijaaa1,0表示，并称以上矩阵为正互反矩阵。（3）一致性检验及权重向量的确定成对比较矩阵通常不是一致阵，为了能用它的最大特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度需要控制在一定的范围内。计算方法如下：定义：一致性指标1nnCI；一致性比率为RICICR;本文中3n，对应的58.0RI.当1.0CR时，认为矩阵A的不一致程度在容许的范围内。其中最大特征根的特征向量),(21n即为相应的权重向量。4.2问题二的分析与模型建立4.2.1问题二的分析从问题二的题设我们知道，为了建立合理的抽检模型，我们首先需要对现有的统计信息进行定量分析。由于问题二的求解几乎需要考虑文中提供的所有已知信息，所以为了简化数学模型的计算复杂度，我们可以在某些直观问题上进行简单的定性分析。例如，原文附录中给出了主要食品和主要抽检项目，为此我们可以主观上认为我们要考虑的部分食品就是附录1中的部分主要食品，要抽检的项目就是附录2中给的8个项目。在基本确定主要食品和抽检项目后，首先我们利用分层抽样模型确定这些主要食品中每种品牌所要抽检的批次数的最优值，然后，我们利用法定的工作时间确定最大抽检时间和费用。最后计算出每种品牌中要抽的批次数及每个批次的药抽检的项目数，对其优劣进行综合评价。4.2.2问题二的模型（一）分层抽样通过上述对问题二的分析，我们利用分层抽样法建立下列函数关系：设整个抽样为一个系统L，系统中含有iL种品牌，每个品牌的生产批次数为il，则总体均值stL的估计量：2211()()(1)NNiiiiistiiiSVVWlWflL（1）第i层的方差：221()/(1)iLiijiijSLLL（2）由误差知识可得：（3）2)()(udstVL7联立上述各式可得：2221(1)()NiiiiiSdWflu（4）调查费用函数：01()*NiiiiCCctl（5）各层样本量的最优分配：（6）由于每个样本的调查费用相同，故上式可以化为1*iiNiiiSffWS（7）联立（4）和（7）可得，总体抽样率为21221(*)*()NiiiNiiiWSfdWSLu（8）也可得到分层抽样率为1221**()NiiiiiNiiiWSfSdWSLu（9）（二）模型的建立——线性目标规化在以上函数关系以及抽检费用有限制的条件下，模型以抽检项目数最多为目标函数所建立的模型如下：1*/*/iiiiNiiiiWSCllWSC8S.T.111//0,0,,0niiiNiiMaxiNiiMaxiMaxiiMaxMaxMaxMaxZLfLfTtLfPpLfTP（10）（2）检测误差（即检测的可靠性）分析的方法:2111()1xxNixNiiNnNnxNXN（11）4.3问题三的分析面粉是一种十分重要的原材料，因此对面份的抽检具有代表性。根据题目的要求，质检部门要做一次全面的质量调查，其抽检方案是问题二模型的具体应用。所以，我们只需将问题二建立的模型具体化，得出具体的抽检方案，并对检测的可靠性进行分析即可。4.4问题四的分析与模型的建立4.4.1问题四的分析对于问题四，它其实是在问题三的基础上，对面粉的质量进行多次跟踪抽检，我们对问题二所建立的模型进行了改进，引入新的变量时间't，建立新的函数关系，并运用MATLAB优化工具箱进行求解，得出了最佳的抽检策略和抽检数量，使检测可靠性较高、成本较低，且工时比较少，用计算机进行模拟检验时效果比较乐观。4.4.2问题四的模型建立由多次跟踪抽检可知：抽检批次数与时间是成反相关的，故我们可以作L与t的函数：1()nLLtt,分别使抽检的效果最好、费用最低、时间最少。目标函数为：'()MaxZLt'()MinPLtp9'()MinTLtt五模型的求解5.1模型一的求解5.1.1确定准则层对目标层的权重向量A=1351/3131/51/31,=3.0385，权重向量为w=（0.6370，0.2583，0.1047）5.1.2确定方案层对准则层的权重向量1B=1351/3131/51/31,2B=1371/3151/71/51，3B=[1].求解结果如下：（编程程序见附件一）矩阵特征值一致性指标CI随机一致性指标RI一致性比率CR权重向量iw1B3.03850.019250.580.0330.1（0.6370，0.2583，0.1047）2B3.06490.032450.580.016225