三角函数综合-知识讲解-基础

三角函数综合编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义.3.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.4.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数sin()yAx的简图，理解A、、的物理意义.5．掌握正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质并能灵活应用．6．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状，理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化.【知识网络】【要点梳理】要点一：终边相同的角1．终边相同的角凡是与终边相同的角，都可以表示成360k的形式.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.特例：终边在x轴上的角集合|180kkZ，，终边在y轴上的角集合|18090kkZ，，终边在坐标轴上的角的集合|90kkZ，.在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小.2．弧度和角度的换算(1)角度制与弧度制的互化：弧度180，1801弧度，1弧度'180()5718(2)弧长公式：rl||(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：2||2121rrlS.要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2，等等，一般地,正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角的弧度数的绝对值是：rl，其中，l是圆心角所对的弧长，r是半径.要点二：任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：1.三角函数定义：角终边上任意一点P为),(yx，设rOP||则：,cos,sinrxryxytan要点诠释：三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离22rxy,那么22sinyxy,22cosxxy,tanyx．2.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦(为正)；要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．3.特殊角的三角函数值06432322sin021222310-10cos12322210-101tan03313不存在0不存在04.同角三角函数的基本关系：22sinsincos1;tancos要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)2sin是2(sin)的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．5.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限):sin()=sin，cos()=-cos，tan()=-tansin()=-sin，cos()=-cos，tan()=tansin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tansin(2)=-sin，cos(2)=cos，tan(2)=-tansin(2k)=sin，cos(2k)=cos，tan(2k)=tan，()kZsin(2)=cos，cos(2)=sinsin(2)=cos，cos(2)=-sin要点诠释：(1)要化的角的形式为90k(k为常整数)；(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sincoscos444xxx；cossin44xx.要点三：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质1.三角函数sincos，yxyx的图象与性质：y=sinxy=cosx定义域(-∞，+∞)(-∞，+∞)值域[-1，1][-1，1]奇偶性奇函数偶函数单调性增区间[2,2],22kkkZ减区间3[2,2],22kkkZ增区间22kkkZ，减区间22kkkZ，周最小正周期2T最小正周期2T期性最值当2()2xkkZ时，min1y当2()2xkkZ时，max1y当2()xkkZ时，min1y当2()xkkZ时，max1y对称性对称轴()2xkkZ对称中心0()kkZ，对称轴()xkkZ对称中心(,0)()2kkZy=cosx的图象是由y=sinx的图象左移2得到的.2．三角函数tanyx的图象与性质：y=tanx定义域,2xkkZ值域R奇偶性奇函数单调性增区间(,),22kkkZ周期性T最值无最大值和最小值对称性对称中心(,0)()2kkZ要点四：函数sin()yAx的图象与性质1．“五点法”作简图用“五点法”作sin()yAx的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取30,,,,222来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.要点诠释：用“五点法”作sin()yAx图的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为4T.2．sin()yAxx的性质(1)三角函数的值域问题三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题，常用方法有：化为代数函数的值域或化为关于sin(cos)xx的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域.(2)三角函数的单调性函数)0,0)(sin(AxAy的单调区间的确定，基本思想是把x看作一个整体，比如：由)(2222Zkkxk解出x的范围所得区间即为增区间，由)(23222Zkkxk解出x的范围，所得区间即为减区间；要点诠释：（1）注意复合函数的解题思想；（2）比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在转化为属于同一单调区间上的两个同名函数值，再利用单调性比较.3．确定sin()yAxx的解析式的步骤①首先确定振幅和周期，从而得到A，；②确定值时，往往以寻找“五点法”中第一个零点(,0)作为突破口，要注意从图象的升降情况找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点.要点五：正弦型函数sin()yAx的图象变换方法先平移后伸缩sinyx的图象向左(0)或向右(0)平移个单位长度sin()yx的图象()横坐标伸长(01)或缩短(1)1到原来的纵坐标不变sin()yx的图象()AAA纵坐标伸长(1)或缩短(01)为原来的倍横坐标不变sin()yAx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度sin()yAxk的图象.先伸缩后平移sinyx的图象(1)(01)AAA纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)sinyAx的图象(01)(1)1()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变sin()yAx的图象(0)(0)向左或向右平移个单位sin()yAx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度sin()yAxk的图象.【典型例题】类型一：三角函数的概念例1．已知角的终边上一点(3,)Pm，且2sin4m，求cos,tan的值.【思路点拨】【解析】由题设知3x，ym，所以2222||(3)rOPm，得23rm，从而2sin4m23mmrm，解得0m或216625mm.当0m时，3,3rx，cos1,tan0xyrx；当5m时，22,3rx，615cos,tan43xyrx；当5m时，22,3rx，615cos,tan43xyrx.【总结升华】理解正弦函数和余弦函数的定义，三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点(,)Pxy在终边上的位置无关.举一反三：【变式1】已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()A．－12B.12C．－32D.32【答案】B【解析】r＝2649m，∴cosα＝2845649mm，∴m0，∴224164925mm，∴m＝±12.∵m0，∴m＝12.例2.已知角45；(1)在区间]0,720[内找出所有与角有相同终边的角；(2)集合|18045,2kxxkZM，|18045,4kNxxkZ，那么两集合的关系是什么？【答案】(1)675或315(2)MN【解析】(1)所有与角有相同终边的角可表示为：)(36045Zkk，则令036045720k，得45360765k解得36045360765k，从而2k或1k代回675或315.(2)因为ZkkxxM,45)12(|表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合ZkkxxN,45)1(|表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.【总结升华】(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于k的不等式，找出相应的整数k，代回求出所求解；(2)可对整数k的奇、偶数情况展开讨论.举一反三：【变式1】集合},42|{ZkkxxM，},24|{ZkkxxN，则()A、NMB、NMC、NMD、NM【答案】C【解析】(法一),kZk取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐标系中，数形结合(法三)集合M变形(21)2,44kkxkZ，集合N变形(2)2,44kkxkZ，(21)k是的奇数倍，(2)k是的整数倍，因此MN.类型二:扇形的弧长和面积公式例3．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？【答案】265.4421(2)2r【解析】设扇形的圆心角是rad，因为扇形的弧长是r，所以扇形的周长是2.rr依题意，得2,rrr2rad180(2)≈1.14257.30≈65.44,2211(2).22Srr【总结升华】弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式2Cr和圆面积公式2122Sr，当用圆心角的弧度数代替2时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：211,.22lrSlrr类型三：同角三角函数基本关系式例4．若sinθcosθ=18，θ∈(4，2)，求cosθ－sinθ的值．【思路点拨】已知式为sinθ、cosθ的二次式，欲求式为sinθ、cosθ的一次式，为了运用条件，须将co