高考试题的探究(一)：鳖臑几何体的试题赏析与探究文章修改稿11.25

1图1DPECBA鳖臑几何体的试题赏析与探究岳峻1阮艳艳2安徽省太和县太和中学2366002015年湖北高考数学之后，广大考生感言：阳马、鳖臑，想说爱你不容易；中学教师考后反思：阳马、鳖臑，不说爱你又没道理；试题评价专家说：湖北高考数学试题注重数学本质，突出数学素养，彰显数学文化.阳马、鳖臑是什么呢？1试题再现1.1文科试题《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图1所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD,且PDCD,点E是PC的中点，连接,,DEBDBE．(I)证明：DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；(II)记阳马PABCD的体积为1V，四面体EBCD的体积为2V，求12VV的值．1.2理科试题《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图2，在阳马ABCDP中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接,,,.DEDFBDBE(I)证明：PB平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；(II)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．2鳖臑的史料2.1史料《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得．”2.2阐释DFPECBA图22阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.3试题赏析3.1生僻字问题试题中出现了中国古代数学巨著《九章算术》中“阳马”“鳖(bīe)臑(nào)”的生僻词，但题目中已经对这两个词语的含义进行了现代文解释，从而高考考生对四棱锥PABCD所具备的特点能够完全理解，并且也能够知道如何判断四面体是否是鳖臑，因此本题中的生僻字不会对考生解题带来困扰．鳖臑，并没闹！3.2教材溯源北京师范大学出版社《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》的“第一章立体几何初步”的“第六节垂直关系”的例题1（第37页）：如图5所示，在ABCRt中，90B，点P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC。问：四面体PABC中有几个直角三角形？教材借助于这道例题给同学们介绍了鳖臑几何体，并提出思考问题（第38页）：仔细观察，你可以从图5中得出几组互相垂直的平面？让同学们更进一步认识这一特殊几何体。教材紧接着在随后的例题2中就给出了以鳖臑为载体的几何命题的证明问题（第38页）：如图6，AB为⊙O的直径，⊙O所在平面PACB图5图3图4PCAB图63为，PA于A，C为⊙O上异于A，B的一点。求证：平面PAC平面PBC。该题借助于鳖臑这一几何体中丰富的垂直关系，让学生来熟悉垂直中的判定定理以及性质定理的应用。3.3设计理念普通高中数学课程标准中指出：数学是人类文化的重要组成部分，数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数学教学应注重体现数学的文化价值，而2015年湖北卷就很恰当的体现了数学文化价值上的考查。命题者将题目的背景取自于古代数学典籍并不意味着试题的难度增大，匠心独运地体现了我国古代数学成果的灿烂辉煌，拓宽了知识面，考查考生的阅读能力、审题能力和应用能力，培养考生的创新精神，注重数学本质，提高数学素养，彰显命题组的博学与智慧．尤其是理科第19题、文科第20题，创新于数学史料的加工，以阳马和鳖臑为载体进行命题，来源于教材又囿于教材，彰显数学文化，数学味道正，文化气息浓，让“枯燥”的高考试卷多了几分生气和灵性，给人耳目一新的感觉．4鳖臑几何体的性质的探究4.1鳖臑几何体中的垂直关系如图7，鳖臑几何体PABC中，PA平面ABC，ACCB，AMPB于M，ANPC于N．（1）证明：BCPAC平面；（2）证明：PBAMN平面；（3）证明：PBCAMN平面平面；（4）证明：PBMN．证明（1）因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，又ACCB，ACPAA,所以BCPAC平面；（2）因为BCPAC平面，AN平面PAC，所以BCAN，又ANPC，PCBCC，所以AN平面PBC，则ANPB，又AMPB，所以PBAMN平面；（3）因为PBAMN平面，所以PBCAMN平面平面．（4）因为BCPAC平面，所以平面PBC平面PAC，又ANPC，所以AN平面PBC，则ANMN，PNMCBAP图74又PBAMN平面，所以PBMN，评注图形中异面直线PA与BC的距离等于线段AC的长度；异面直线AN与PB的距离等于线段MN的长度；4.2鳖臑几何体中的空间角如图8，设为CB与斜线PB的夹角PBC，为CB与斜线PB在底面ABC的射影AB的夹角ABC，为PB与底面ABC所成的角PBA，为二面角APBC的平面角，为直线AB与平面PBC所成的角，为直线PC与底面ABC所成的角，为直线PC与平面PAB所成的角，则（1）coscoscos；（2）cossincos；（3）sinsinsin；（4）sinsinsin；（5）sinsintan.证明（1）coscoscosBCABABPB；（2）coscossincoscosANPANANAPAMPAMAMAP；（3）sinsinsinANACANACABAB；（4）sinsinsinPAPCPAPCPBPB；（5）过C作CHAB于H，连接PH，则CH平面PAB，CPH，tansinsinBCPCPCCHBCCH.评注图形中二面角PBCA的平面角的大小等于，二面角APBC的平面角的大小等于，二面角BPAC的平面角的大小等于2；直线AB与平面PAC所成的角为，直线AC与平面PBC所成的角为，直线ACNMCBAPωH图85图9DPECBA与平面PAB所成的角为2，直线PB与平面PAC所成的角为2，直线PA与平面PBC所成的角为2.5鳖臑几何体模型的应用5.12015湖北真题评析例1（同1.1文科试题）解析（I）因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BCPCD平面.而DE平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD,BCE,DEC,DEB.（II）因为PD底面ABCD，PD是阳马PABCD的高，又点E是PC的中点，则点E到底面ABCD的距离为PD的12，由于2ABCDBCDSS，所以121341132ABCDBCDSPDVVSPD．例2（同1.2理科试题）解析（I）同例1证明DE平面PBC.而DE平面DEF，所以平面DEF平面PBC.而平面DEF平面EFPBC，EFPB，所以PB平面DEF.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEBDEF，，EFBDFB，.（II）因为PB平面DEF，PD底面ABCD，则平面DEF与平面ABCD所成二面角的平面角即为PB与PD所成的角3BPD，不妨设1PDDC，则3BD，在RtBCD中,2BC，故22DCBC．5.2鳖臑在手，横扫立体几何试题鳖臑几何体不仅覆盖了立体几何中点、线、面的各种位置关系，以及各种空间角的计算，又突出了“垂直”这个横贯立体几何知识的“红线”，因此，鳖臑几何体是探求空间中线线、DFPECBA图106线面、面面垂直关系的十分重要的基本图形，也是研究棱锥、棱台的基本模型。例3已知BAC在内，PPEAB，于E，PFAC于F，PEPF，PO，求证：O在BAC的平分线上（即BAOCAO）．解析因为,,PEABPFACPO，由三垂线定理逆定理知：,ABOEACOF，因为,PEPFPAPA，所以PAERt≌PAFRt，则AEAF，又因为AOAO，所以RtAOERtAOF，故BAOCAO．评注经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线．本题图形中的三棱锥POAF就是鳖臑几何体，显然，这个三棱锥中蕴含着棱锥、棱台的所有要素。例4（2015新课标I）如图12，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若120ABC，AEEC，三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.解析(1)因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC，又BE平面ABCD，所以几何体BCGE是鳖臑，由鳖臑几何体的垂直关系性质1可知CG平面BEG,又CG平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)因为120ABC，AEEC，AECE，所以2ACAE，因为三棱锥EACD的体积为63，所以鳖臑几何体BCGE的体积为66.设BGx,则3,2CGxBCABx,6AECEx，2BEx，所以BCGE的体积为21116323326BCGSBExx，所以1x，所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为5.故三棱锥EACD的侧面积为325.例5（2015新课标Ⅱ）如图13，长方体ABCD1111ABCDCBOEFAP图11图13A1D1FC1CBB1ADEEDGCBA图127中，16AB，10BC，18AA，点E，F分别在1111,ABDC上，114AEDF，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(I)在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；(II)求直线AF与平面所成角的正弦值.解析(I)交线围成的正方形EHGF如图14.(II)如图14，作EMAB于M,则1AMAE4，8EM；因为四边形EHGF为正方形,所以EHEF10，于是6HM，所以10AH.作AQEH于Q，连接QF，则三棱锥AQEF就是鳖臑几何体，其中QFA就是AF与平面EHGF所成角，设,,,QFEAFQAFE由鳖臑几何体的性质，则coscoscos，又1010cos,cos65229，则2292945cos,sin156535，故AF与平面EHGF所成角的正弦值为4515.例6（2015山东）如图15，在三棱台DEFABC中，2ABDE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：//BD平面FGH；(2)若CF平面ABC，ABBC，CFDE，45BAC，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．解析(1)略.(2)由G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB，因为ABBC，所以BCGH，又CF平面ABC，所以几何体EHCF是鳖臑几何体；假设平面FGH与平面ACFD所成的角为，,