以立体几何中探索性问题为背景的解答题(解析版)

【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐．此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立．“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由．这类问题常用“肯定顺推”的方法．求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性．所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解其存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便．解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数p的方程．即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题．2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【精选名校模拟】1.在四棱锥ABCDE中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC底面ABCD，F为BE的中点.（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：AEBD；（Ⅲ）若2,ABCE=在线段EO上是否存在点G，使CG平面BDE？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．OFEDCBA【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1.2EGEO2.如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。（1）求证：BM∥平面PAD；（2）在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦。【答案】（1）见解析；（2）N是AE的中点；（3）32．试题解析：（1）M是PC的中点，取PD的中点E，则MECD21，又ABCD21四边形ABME为平行四边形BM∥EA，PADBM平面PADEA平面BM∥PAD平面（4分）（2）以A为原点，以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则)0,0,1B，0,2,2C，0,2,0D，2,0,0P，1,1,1M，1,1,0E3.如图1，在ACBRt中，90C°，3BC，6AC，D，E分别是AC，AB上的点，且BCDE//，2DE，将ADE沿DE折起到DEA1的位置，使CDCA1，如图2．（Ⅰ）求证：CA1平面BCDE；（Ⅱ）若M是DA1的中点，求CM与平面BEA1所成角的大小；（Ⅲ）点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段FA1上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE，求点P到直线l的距离的最小值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）CM与平面1ABE所成角的大小45；（Ⅲ）点P到直线l的距离有最小值656512.试题解析：（Ⅰ）由题CDDE，DEDA1，DDACD1DE平面1ACD，又1AC平面1ACD，1ACDE又1ACCD，DCDDE1AC平面BCDE．∴不妨取123n，，又∵103M，，∴103CM，，∴|,cos|sinnCM1342214313222CMnCMn，∴CM与平面1ABE所成角的大小45．zyxA1(0,0,23)D(-2,0,0)E(-2,2,0)B(0,3,0)C(0,0,0)M4.在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，//ABCD，90ADC，1ABADPD，2CD.（Ⅰ）求证：BC平面PBD；（Ⅱ）设Q为侧棱PC上一点，PQPC，试确定的值，使得二面角QBDP为45.【答案】解法一：（Ⅱ）平面PBD的法向量为(1,1,0)BC，…………………………………………7分(0,2,1)PC，PQPC，(0,1)所以(0,2,1)Q，………………………………………………………………8分设平面QBD的法向量为(,,)abcn=，(1,1,0)DB，(0,2,1)DQ，由0DBn，0DQn，得法二：（Ⅰ）∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD面PCD，且PD⊥CD∴PD⊥面ABCD，………1分又BC面ABCD，∴BC⊥PD①…..…..……2分取CD中点E，学科网连结BE，则BE⊥CD，且BE=1∵FQ//BC，∴即PCPQBCFQxBCPCPQFQ52PCPQPBPFxPBPCPQPF53即∵FG//PD∴即PBBFPDFGxPDPBBFFG511………………..…...……10分在Rt△FGQ中，∠FGQ=45°∴FQ=FG，即x52x511∴)12(5125x……..….........……11分∵PQPC∴5)12(5∴12……..…............……12分5.如图，已知正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为6，P是棱SC的中点．[来源:学|科|网]（1）求直线AP与平面SBC所成角的正弦值；（2）求二面角B—SC—D大小的余弦值；（3）在正方形ABCD内是否存在一点Q，使得PQ平面SDC？若存在，求PQ的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线AP与平面SBC所成角的正弦值为277；（2）二面角B—SC—D大小的余弦值为71；（3）不存在满足条件的点Q.（1）336(,,)222AP，设平面SBC的法向量1n=（x1,y1,z1），则110,0nBCnSB,即111120,60,xxyz，可取1n=（0,6,1），6.如图1，已知O⊙的直径4AB，点C、D为O⊙上两点，且=45CAB，60DAB，F为弧BC的中点．将O⊙沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．（Ⅰ）求证：//OFAC；（Ⅱ）在弧BD上是否存在点G，使得//FG平面ACD？若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角C-AD-B的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）在弧BD上存在点G，使得//FG平面ACD，且点G为弧BD的中点；（Ⅲ）277;（3）根据，∠DAB=60°求出D点坐标，然后求出平面ACD的一个法向量，找出平面ADB的一个法向量，利用两平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值．试题解析：（法一）：证明：（Ⅰ）如右图，连接CO，45CAB，COAB，又F为弧BC的中点，45FOB，//OFAC．（Ⅲ）过O作OEAD于E，连CE．因为COAB，平面ABC平面ABD，故CO平面ABD．又因为AD平面ABD，故COAD，所以AD平面CEO，ADCE，则CEO是二面角C-AD-B的平面角，又60OAD，2OA，故3OE．由CO平面ABD，OE平面ABD，得CEO为直角三角形，又2CO，学科网故7CE，可得cosCEO=37=217，故二面角C-AD-B的正弦值为277.（法二）：证明：（Ⅰ）如图，以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O为原点，作空间直角坐标系Oxyz，则0,20A,，002C,,(0,0,2)(0,2,0)(0,2,2)AC，点F为弧BC的中点，点F的坐标为0,22,，(0,2,2)OF，22OFAC，即//OFAC．7.如图，在多面体ABCDE中，DBABC平面,//AEDB,ABC且是边长为2的等边三角形，1AE，CD与平面ABDE所成角的正弦值为64.（1）在线段DC上是否存在一点F，使得EFDBC面，若存在，求线段DF的长度，若不存在，说明理由；（2）求二面角DECB的平面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）存在F为CD中点，DF=2时，使得EFDBC面（Ⅱ）648.如图，在直三棱柱111CBAABC中，12ABBCAA，90ABC，D是BC的中点．（1）求证：1AB∥平面1ADC；（2）求二面角1CADC的余弦值；（3）试问线段11AB上是否存在点E，使AE与1DC成60角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）二面角1CADC的余弦值为23；（3）当点E为线段11BA中点时，AE与1DC成60角.由111CBAABC是直三棱柱，得四边形11ACCA为矩形，O为1AC的中点.又D为BC中点，所以OD为1ABC△中位线，所以1AB∥OD，由二面角1CADC是锐角，得||2cos,3nvnvnv.8分所以二面角1CADC的余弦值为23.（3）解：假设存在满足条件的点E.因为E在线段11BA上，)1,2,0(1A，)1,0,0(1B，故可设)1,,0(E，其中02.所以(0,2,1)AE，1(1,0,1)DC因为AE与1DC成60角，所以1112AEDCAEDC.9.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是菱形，ACBDO,PAC是边长为2的等边三角形，6PBPD,4APAF.（Ⅰ）求证：PO底面ABCD；（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面BDF？如果存在，求BMBP的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）30；（Ⅲ）存在，BMBP=13试题解析：解：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，ACBDO,（Ⅱ）由已知可得133(,0,)444OFOAAP-----------------------------------------6分设平面BDF的法向量为(,,)xyzn，则0,0,OBOFnn即30,330.44yxz令1x，则3z，所以(1,0,3)n.----------------------------------------8分因为1cos2||||CPCPCPnnn，----------------------------------------9分所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为12，10.如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中，M是BD的中点.又已知侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.(1)求证:EM∥平面ABC;(2)试问在棱DC上是否存在点N,使NM⊥平面BDE?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在，1CN【解析】11.如图，在各棱长均为2的三棱柱111CBAABC中，侧面11ACCA底面ABC，601ACA．（1）求侧棱1AA与平面CAB1所成角的正弦值的大小；（2）已知点D满足BCBABD，在直线1AA上是否存在点P，使CAB