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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 资本运营 > 一道圆锥曲线综合题(一题15问)
1一道题15关,试问你能闯几关?已知椭圆方程13422yx,1F、2F为椭圆的左、右焦点,直线l过交点1F,与椭圆交于A、B两点,根据下来条件,求解。(1)若D为AB的中点,求证:ABODkk为定值;(2)是否存在以AB为直径的圆,经过原点,若存在,求直线l的方程,若不存在,说明理由;(3)若0,3P,求PABS的面积达到最大时,求直线l的方程;(4)若00,aaP,Q为椭圆上的一个动点,求PQ的最小值;(5)设11,yxA,22,yxB,求21yy的取值范围;2(6)若椭圆的左、右顶点分别为M、N,直线l与椭圆交于A、B两点,求四边形MANB的面积最大值;(7)在x轴上是否存在一个定点D,使得DBDA为定值?(8)是否存在一条垂直于x轴的直线,使得椭圆上的任意一点到这条直线额距离与到焦点的距离之比为2?(9)已知椭圆内有一点1,1P,在椭圆上有一动点M,则求2MFMP的最大值和最小值分别是多少?(10)如图1,若A、B分别为椭圆的左右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是椭圆上异于A、B的任意一点,直线AP交l于点M,设过点M垂直于PM的直线为m,求证:直线m过定点,并求出此定点的坐标;3(11)如图2,若直线l过左焦点1F交椭圆于A、B两点,M为右顶点,直线MA,MB分别交直线4x于C、D两点,求证:以线段CD为直径的圆恒过两个定点;(12)如图3,若M、N是椭圆上关于原点对称的两点,点P是椭圆上除M、N外的任意一点,当自信PM,PN的斜率都存在时,并记为PMk,PNk,求证PNPMkk为定值;(13)如图4,若动直线'l:mkxy与椭圆有且仅有一个公共点,点M、N是直线'l上的两点,且'1lMF,'2lNF,求四边形21MNFF面积S的最大值;4(14)如图5,若过点2F且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P、Q两点,试探究:线段2OF上是否存在点)0,(mM使得MQPQMPQP,若存在,求出实数的取值范围,若不存在,说明理由;(15)如图6,若点P为抛物线:Dxy42上的动点,设O为坐标原点,是否存在同时满足下两个条件的APM?①点M在椭圆上;②点O为APM的重心,若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由。5参考答案:(9)依题意得,0,11F,0,12F,如下图:因为4221aMFMF,所以11244MFMPMFMPMFMP,有平面几何知识,得:111PFMFMPPF,51PF,所以54,542MFMP;(10)设0,111yyxP,0,2yM,则201yk,2111xyk,因为A,P,M三点共线,所以24110xyy,设直线BP的斜率为2112xyk,直线m的斜率为112yxkm,所以直线m过定点0,1;(11)怎么:设11,yxA,22,yxB,1:myxAB,代入椭圆方程,并消去y得:0964322myym,6设CD与x轴交于点N,以线段CD为直径的圆与x轴交于点P,Q,则922DCyyNDNCNQNP,所以3NQNP,∵0,4N,∴点P、Q的坐标为0,1,0,7。7(13)8(14)存在这样的点M符合题意.设线段PQ的中点为N,P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),直线PQ的斜率为k(k≠0),注意到F2(1,0),则直线PQ的方程为y=k(x﹣1),由消去y得:(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,所以,故,y0=k(x0﹣1)=.又点N在直线PQ上,所以N,由可得,∴PQ⊥MN,∴kMN=,整理得=,所以,在线段OF2上存在点M(m,0)符合题意,其中.(15)不存在,理由如下:若这样的三角形存在,由题可设,由条件①知,由条件②得,又因为点A(﹣2,0),所以即,故,解之得x2=2或(舍),当x2=2时,解得P(0,0)不合题意,所以同时满足两个条件的三角形不存在.
本文标题:一道圆锥曲线综合题(一题15问)
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