立体几何中球的内切和外接问题(完美版)

球与多面体的内切、外接球的半径r和正方体的棱长a有什么关系？.ra二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个。一、球体的体积与表面积343VR球①24SR球面②多面体的外接球多面体的内切球剖析定义1一、由球心的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球球心。一、定义法针对讲解1CAODB图4求正方体、长方体的外接球的有关问题22②出现正四面体外接球时利用构造法(补形法)，联系正方体。求正方体、长方体的外接球的有关问题例2.（全国卷）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）2A.B.C.D.34336破译规律-特别提醒2球与正四面体内切接问题3【例3】求棱长为a的正四面体内切球的体积．球与正四面体内切接问题3正四面体内切、外接结论3球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体（棱长为a）的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1.外接球半径：内切球半径：结论：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径(为正四面体的高)，且外接球的半径．aR46ar126hr41rR32、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。1例4、正三棱锥的高为1，底面边长为。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。过侧棱AB与球心O作截面(如图)在正三棱锥中，BE是正△BCD的高，O1是正△BCD的中心，且AE为斜高解法1：O1ABEOCD作OF⊥AE于FF设内切球半径为r，则OA=1－r∵Rt△AFO∽Rt△AO1E例4、正三棱锥的高为1，底面边长为。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。解法2：设球的半径为r，则VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD16243312BCDAV全Sr31r322326r6258球S内切球全多面体rS31V注意：①割补法，②内切球全多面体rSV31O1ABEOCD62变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）•A．①②Ｂ．②④Ｃ．①②③Ｄ．②③④①②③④ABCDD1C1B1A1O球的内接正方体的对角线等于球直径。变式训练：已知正四面体内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，则（）•A．以下四个图形都是正确的B．只有②④是正确的•C．只有④是正确的D．只有①②是正确的①②③④DABCDOABCDO求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径解法2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。4例4、（2014）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为．，则此球的表面积等于_________．解：由已知条件得：，∴，∵，∴，设的外接圆的半径为，则，∴，∴外接球的半径为，∴球的表面积等于.解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径，从而解决问题。rCc2sin正棱锥的外接球的球心是在其高上5例5在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B.C.4D.正棱锥的外接球的球心是在其高上5例6.一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，五个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为.OO1DCBAP9设外接球半径为R，在△OO1A中有解得.∴.测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心6例7、.若三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为（）A.B.C.1D.OSMABC答案：D.，即.若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。7例9、已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，,求球的体积。OABCP解：且，，，,因为所以知所以所以可得图形为：在中斜边为在中斜边为取斜边的中点，在中在中所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为破译规律-特别提醒03例题剖析-针对讲解2举一反三-突破提升04举一反三-突破提升41、（2015海淀二模）已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为______.举一反三-突破提升42、（2015郑州三模）正三角形ABC的边长为，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的体积为。23333BDDCBCABC等边三角形1312sin60313,22sin60BEADBE2229131424131336OBOEBEVR举一反三-突破提升43.(2015南昌二模）某几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是（）.2A.4B.8C.16DC举一反三-突破提升44.（2015石家庄一模）三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,Q为底面内一点，若Q到三个侧面的距离分别为3,4,5,则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为ABC22223,4,5,0,0,023455252,4502QPRPQRSR-29-考点一考点二考点三考点三组合体的表面积与体积【例3】正三棱锥(正三棱锥是底面为等边三角形,三个侧面为全等的等腰三角形的三棱锥)的高为1,底面边长为26,内有一个球与它的四个面都相切(如图).求:(1)这个正三棱锥的表面积;(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.举一反三-突破提升4-30-考点一考点二考点三解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26=2,则正棱锥侧面的斜高为12+(2)2=3.∴S侧=3×12×26×3=92.∴S表=S侧+S底=92+12×32×(26)2=92+63.举一反三-突破提升4-31-(2)设正三棱锥P-ABC的内切球球心为O,连接OP,OA,OB,OC,而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC=13S侧·r+13S△ABC·r=13S表·r=(32+23)r.举一反三-突破提升4-32-又VP-ABC=13×12×32×(26)2×1=23,∴(32+23)r=23,得r=2332+23=23(32-23)18-12=6-2.∴S内切球=4π(6-2)2=(40-166)π.V内切球=43π(6-2)3=83(96-22)π.举一反三-突破提升4•.四棱锥P—ABCD，底面ABCD是边长为6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥的各个面相切，则此四棱锥的体积为（）•A．15B．24C．27D．30举一反三-突破提升41、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π举一反三-突破提升42.正六棱柱的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为A.20B.25C.100D.200举一反三-突破提升4已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为()A4πB,12πC.316D.364举一反三-突破提升4如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点．将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为()A．2734B．26C．86D．246举一反三-突破提升4已知三棱锥S—ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为()A．36B．6C．3D．9举一反三-突破提升4一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A、外接球的半径为33B、体积为3C、表面积为631D、外接球的表面积为1633111正视图侧视图俯视图点A、B、C、D均在同一球面上，其中是正三角形，AD平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为（）(A)(B)(C)(D)平面四边形ABCD中，1CDADAB，CDBDBD,2，将其沿对角线BD折成四面体BCDA'，使平面BDA'平面BCD，若四面体BCDA'顶点在同一个球面上，则该球的体积为．32已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S—ABC的体积为（）A．33B．233C．433D．533已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC，则此棱锥的体积为（）（A）26（B）36（C）23（D）22(2013·石家庄质检)已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为()A.6B.2C.3D．2一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于．．．半径为3的球，则该棱柱体积的最大值为（）A．332B．33C．233D．36正方体1111DCBAABCD的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，PMPN的取值范围是．