信号与系统-奥本海姆PPT课件CH3

第3章周期信号的傅里叶级数表示Ⅰ.周期信号的频域分析III.LTI系统的频域分析II.傅立叶级数的性质本章主要内容：3.0引言Introduction时域分析方法的基础：1)信号在时域的分解。2)LTI系统满足线性、时不变性。2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示”拉格朗日反对发表1822年首次发表“热的分析理论”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件傅里叶（1768—1830）3.1历史的回顾（AHistoricalPerspective）傅里叶的两个最重要的贡献——“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示”——傅里叶的第二个主要论点由时域分析方法有，()()()()()ststsstytehdehedHse()[][][]()nknknkkynzhkzhkzHzz3.2LTI系统对复指数信号的响应stenz[]hn()htste()ytnz[]yn考查LTI系统对复指数信号和的响应可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得的。这说明和符合对单元信号的第一项要求。stenz特征函数(Eigenfunction)如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的特征值。结论：只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。复指数函数、是一切LTI系统的特征函数。、分别是LTI系统与复指数信号相对应的特征值。()()stHshtedt()[]nkHzhnzstenz()Hs()Hz对时域的任何一个信号或者,若能将其表示为下列形式：()xt[]xntststseaeaeatx321321)(利用系统的齐次性与叠加性同理：[]nkkkxnaZ[]()nkkkkynaHZZtskkkkesHaty)()(tskkkeatx)(即：tststsesHaesHaesHatytx321)()()()()(332211所以有111()ststeHse222()ststeHse333()ststeHse由于[]nkkkxnaZ[]()nkkkkynaHZZtskkkkesHaty)()(tskkkeatx)(*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？例：3.3连续时间周期信号的傅里叶级数表示如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，一.连续时间傅里叶级数0(){}jktkte02k02成谐波关系的复指数信号集:，其中每个信号都是以为周期的，它们的公共周期为，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。0,1,2,k显然也是以为周期的。该级数就是傅里叶级数，称为傅立叶级数的系数。这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即:连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量。称为第k次谐波，直流分量02()xtka0(),0,1,2jktkkxtaek有0jkte0a例1：0()cosxtt001122jtjtee显然该信号中，有两个谐波分量，为相应分量的加权因子，即傅立叶系数。112a例2：00()cos2cos3xttt0000331[]2jtjtjtjteeee在该信号中，有四个谐波分量，即,3,1k时对应的谐波分量。傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。二.频谱（Spectral）的概念在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。t()kt信号集中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。01分量可表示为0jte12120000001cos()2jtjttee表示为因此，当把周期信号表示为傅里叶级数时，就可以将表示为()xt()xt0()jktkkxtae这样绘出的图称为频谱图000a1a2a3a3a2a1agggggggg频谱图其实就是将随频率的分布表示出来，即的关系。由于信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。ka~ka三.傅里叶级数的其它形式0000*()jktjktjktjktkkkkkkkkxtaeaeaeaekkaa或*kkaa若是实信号,则有)()(txtx，于是()xt若令kjkkaAe，则为实数。于是0a0001[]kkjktjjktjkkkaAeeAee0001()()01()kkkjjktjktjktkkkkkkxtAeeaAeAe*kkjjkkkkaaAeAeQ即：kkAAkk表明的模关于偶对称，幅角关于奇对称。kakk0001()[]kkjktjjktjkkkxtaAeeAee0012cos()kkkaAkt——傅里叶级数的三角函数表示式kkkaBjC若令则00101()()()jktjktkkkkkkxtaBjCeBjCe0001()()jktjktkkkkkaBjCeBjCe*kkaaQkkkkBjCBjC因此kkBBkkCC即的实部关于偶对称，虚部关于奇对称。kakk0001()()()jktjktkkkkkxtaBjCeBjCe00012cossinkkkaBktCkt——傅里叶级数的另一种三角函数形式将此关系代入，可得到四.连续时间傅里叶级数系数的确定00()()jntjkntkkxteae对两边同时在一个周期内积分，有0000()00()TTjntjkntkkxtedtaedt0(),jktkkxtae002T()xt则有如果周期信号可以表示为傅里叶级数0000()00000cos()sin()TTTjkntedtkntdtjkntdt0000()TjntnxtedtaT00001()TjntnaxtedtT即00,,Tknkn在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为0001()jktkTaxtedtT0001()TaxtdtT是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。0a0000()1()jktkkjktkTxtaeaxtedtT0001()TaxtdtT五.周期性矩形脉冲信号的频谱10011101000002sin11TjktjktTkTTkTaedteTjkTkT101111010010002sin222Sa()sinc()TkTTTTkTkTkTTTTsinSa()xxxsinsinc()xxx其中10T0Tt()xt根据可绘出的频谱图。称为占空比ka()xt102TT0121sin()cx1x1014TT不变变化1T0T018TT0116TT3.4连续时间傅里叶级数的收敛这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。ConvergenceoftheFourierseries傅里叶级数收敛的两层含义：①是否存在?②级数是否收敛于?ka()xtDirichlet条件：①，在任何周期内信号绝对可积。②在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。③在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。0()Txtdt0000011()()jktkTTaxtedtxtdtTT因此，信号绝对可积就保证了的存在。ka3.5连续时间傅里叶级数的性质学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。一.线性：若和都是以为周期的信号，且()FSkxta()FSkytb()xt()ytT则()()FSkkAxtBytAaBb二.时移:三.反转:000()jktFSkxttae()FSkxta若是以为周期的信号，且()xtT则02T若是以为周期的信号，且()xtT()FSkxta则()FSkxta四.尺度变换:()xtT若是以为周期的信号，且()FSkxta则以为周期，于是()xat/Ta()FSkkxatba令，at于是有：01()jkkkTbxedaT五.相乘:若和都是以为周期的信号，且()FSkxta()FSkytb()xt()ytT则0/()()jkatFSkTaaxatbxatedtT()()FSlklkklxtytabab01()()()()jktFSkTxtytCxtytedtTg001()jltjktklTlCaeytedtTg也即证明：0()1()jkltkllklTllCaytedtabT()()FSlklkklxtytabab六.共轭对称性:若是以为周期的信号，且()xtT()FSkxta则()FSkxta由此可推得，对实信号有：或kkaakkaa对实信号，当时，()()xtxtkkaa（实偶函数）当时，()()xtxtkkaa（虚奇函数）七.Parseval定理：kkTadttxT22)(1表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和.*掌握表3.1例1：kkTttx)()(-T1tT0)(tx……0/2/211()TjktkTatedtTT01()jktkxteT02T)(tg10……1T1T-T．．Tt例2：周期性矩形脉冲)()()(11'TtxTtxtg将其微分后，可利用例1表示为()gt1t0……1T1T1TT1TT设()()FFkkgtcgtb由时域微分性质有0kkbjkc根据时移特性，有0101012sinjkTjkTkkkbaeejakT由例1知1/kaT02/T0101100012sinsin2kkbkTkTTcjkkTTkT一.离散时间傅里叶级数（DFS）考察成谐波关系的复指数信号集:该信号集中每一个信号都以为周期，且该集合中只有个信号是彼此独立的。2[]{}jknNkneNN3.6离散时间周期信号的傅里叶级数表示这个级数就称为离散时间傅里叶级数（DFS），其中也称为周期信号的频谱。ka[]xn将这个独立的信号线性组合起来，一定能表示一个以为周期的序列。即：2[]jknNkkNxnae其中为个相连的整数NNNk二.傅里叶级数系数的确定给两边同乘以，得：2[]jknNkkNxnae2jrnNe22()