系泊系统的设计和探究

赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或资料（包括网上资料），必须按照规定的参考文献的表述方式列出，并在正文引用处予以标注。在网上交流和下载他人的论文是严重违规违纪行为。我们以中国大学生名誉和诚信郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）：参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（指导教师签名意味着对参赛队的行为和论文的真实性负责）日期：年月日（请勿改动此页内容和格式。此承诺书打印签名后作为纸质论文的封面，注意电子版论文中不得出现此页。以上内容请仔细核对，如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人备注送全国评阅统一编号（赛区组委会填写）：全国评阅随机编号（全国组委会填写）：（请勿改动此页内容和格式。此编号专用页仅供赛区和全国评阅使用，参赛队打印后装订到纸质论文的第二页上。注意电子版论文中不得出现此页。）系泊系统的设计和探究摘要本文利用牛顿力学定律，力矩平衡原理、非线性规划、循环遍历法等方法对系泊系统进行了设计与探究。通过对系泊系统各组件和浮标运用牛顿经典力学体系进行分析，得到了各个情况下的钢桶倾斜角度、锚链状态、浮标吃水深度和游动区域。第一问是求解在风速为12m/s和24m/s时，浮标的吃水深度和游动区域、钢桶以及钢管的倾斜角度和锚链形态。对于此，首先，我们对浮标、钢管、钢桶、链环进行了基于静力平衡的力学分析，并得到了一系列的方程组；接着，由于钢管、钢桶、链环还满足力矩平衡状态，故得到系泊系统平衡时的刚体力学方程组；然后，根据系泊系统各组成部件的倾斜角度可以得出其在竖直方向的投影，且它们的投影之和与海水深度存在几何约束。最后，以这个几何约束条件为前提，运用MATLAB中的循环遍历法对该复杂的非线性方程组进行求解，得到在风速为12m/s时，1至4号钢管的倾斜角度依次为1.1459，1.1516，1.1573，1.1688，钢桶的倾斜角度为1.1860，浮标的吃水深度为0.6870m，浮标的游动区域以锚为圆心，12.5362m为半径的范围圆。锚链形状为拖地状态，拖地长度6.7m。当风速为24m/s时，从上至下各钢管的倾斜角度为4.408，4.437，4.465，1.1688，钢桶的倾斜角度为4.566，浮标的吃水深度为0.6974m，游动范围为以锚在海平面度的投影为圆心，半径为17.8592m的圆。对于第二问，求解当海面风速为36m/s时，浮标的吃水深度和游动区域、钢桶以及钢管的倾斜角度和锚链形态。利用第一问中的力学方程和程序，求得钢桶的倾角为19.5951和四节钢管的倾斜角度依次为19.756、19.755、19.916、20.076。浮标的游动区域为以锚在海面上的投影为圆心，半径为18.8828m的圆。由于部分数据与问题二中钢桶的倾斜角度不超过5，锚链在锚点与海床的夹角不超过16的要求不符，所以通过调节重物球的质量使钢桶的倾斜角度和锚链在锚点与海床的夹角处在要求的范围之内。借助MATLAB程序中的循环遍历法，可以求得重物球的质量3770kg。对于问题三，在设计系泊系统时，必须要使其能在最恶劣的情况下也能使用，故这里只讨论风速为36m/s，海水速度为1.5m/s时的系泊系统各构件的状态。假设在问题二的情况下，重物球质量为3770kg，海水深度分别为16m和20m的情况下，浮标的吃水深度和游动区域、钢桶以及钢管的倾斜角度和锚链形态。以钢桶倾斜角度和浮标游动范围为评价指标，运用TOPSIS的方法得出在海水深度为16m，在风速为36m/s，水流速度为1.5m/s时，五种锚链的钢桶倾斜角都为3.8291，比较浮标浮动范围得到，V号锚链浮动半径最小为18.9175m。在海水深度为20m,其他条件不变时，得出钢桶倾斜角度和浮标游动范围数据不易直接比较，故在此采用TOPSIS方法进行比较，得到五种锚链与最有方案的接近程度大小关系：IVIIIIIIV，因此可以得出在海水深度为20m时IV号锚链最为合适。关键词：牛顿第二定律力矩平衡原理非线性规划循环遍历法一、问题重述近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图一所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为低面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，常用型号及其参数已在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链第1节。现由题可知，如果要使该系统正常工作，那么就要使锚链末端和锚链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位；若钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度，则设备的工作效果较差。因此为了控制钢桶的倾斜角度，可在钢桶与电焊锚链连接处悬挂重物球。图1传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。附表锚链型号和参数表型号长度(mm)单位长度的质量(kg/m)I783.2II1057III12012.5IV15019.5V18028.12表注：长度是指每节链环的长度。问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该节点布放在水深为18m，海水密度为331.02510kg/m的海床平坦的海域。请计算当海面风速分别为12m/s和24m/s且海水静止时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。问题2请在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。并试调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。问题3而由于潮汐等因素的影响，布放海域的水深实际介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。二、问题分析本题是以系泊系统设计为背景的力学分析问题。2.1问题一分析首先，建立以锚为原点，其余各部件都在第一象限的平面直角坐标系。然后，根据牛顿经典力学理论，对浮标、钢管和钢桶分别进行受力分析，可得出三个方程组。接着，由于钢桶与钢管之间存在着力矩平衡，因此可以得出钢桶、钢管之间的关系方程；对于锚链，可对其每一个小段进行受力分析，得出其有关方程式；因为系泊系统各组成部分在竖直方向上的投影之和为海平面与海床之间的距离，即18米，为有效限定条件，所以可列出浮标、钢管、钢桶、锚链在竖直方向上投影之和与18米之间的关系方程式。最后，使用迭代算法在MATLAB软件上对所有方程进行求解；分别求出风速在12m/s和24m/s时时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。2.2问题二分析根据问题一中的求解思路，将风速值36m/s代入，求解出数值，再与题目中的条件钢桶的倾斜角小于等于5度，锚在锚点与海床的夹角小于等于16度进行对比，判断其是否合理。如不合理，运用循环遍历法，逐渐增加重物球的质量，直至得到一个合理的质量。2.3问题三分析由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。三、模型假设1、海平面与海底平面水平。2、浮标始终海平面保持垂直状态。3、在一定时间内，风速和风向恒定。4、风向为水平风向。5、该地区重力加速度为9.82m/s。6、假设重力球、锚链、钢管为同一种材料，均为密度为337.910kg/m的钢。7、锚所受浮力忽略不计。四、符号说明符号单位符号意义F风N浮标所受风力F浮标N浮标所受浮力G标N浮标的重力hm浮标吃水深度F管N钢管所受浮力G管N钢管的重力iT管N钢管所受拉力（i=1，2，3，4，5）i度钢管拉力与竖直线夹角（i=1，2，3，4，5）j度钢管倾斜角度（j=1,2,3,4）gLm钢管长度tFN钢桶所受浮力tGN钢桶的重力tTN钢桶所受拉力度钢桶倾斜角度tLm钢桶长度F链N链环所受浮力G链N链环的重力iT链N链环所受拉力（i=1,2,3…….211）i度链环拉力与竖直线夹角i度链环倾斜角度（i=1,2,3…….210）G锚N锚的重力T锚N锚所受拉力fFN锚所受摩擦力NFN锚的支持力qGN重物球的重力Rm浮标的游动半径五、模型的建立与求解5.1问题一的模型建立与求解5.1.1模型一的建立已知重力球的质量1200kg，海水深度18米，海水密度1.025×103kg/m3。求当海面风速分别为12m/s和24m/s且海水静止时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。我们可以在系统处于风力恒定的平衡状态下，对系泊系统进行局部受力分析。（1）对浮标进行受力分析图2浮标受力分析图由图2可知，浮标在水平方向上受到竖直向上的浮力F浮，竖直向下的重力G标，水平向右的风力F风和钢管产生的斜向下的拉力1T。其中：2g(/2)   Fd浮（1）2=0.625Fv风（H-h）（2）根据牛顿第二定律列出下列方程组11  o s =cFGT浮标（3）11=sinFT风（4）F浮G标F风1T1T1化简得：1=tan-GaFF风浮标（5）221=-TFFG风浮标（6）（2）对钢管进行受力分析F管为钢管所受浮力，G管为钢管自身重力，iT管表示第i-1个钢管对第i个钢管的拉力，i表示第i-1个钢管对第i个钢管的拉力与其浮力所成的夹角。其中，i表示第i个钢管，i=1，2，3，4，5。图3钢管受力分析图图3表示的为第一个钢管的受力分析图，由题知，四个钢管材质大小都相同，因此，所受浮力和自身重力也相同。其中，当i=1时，1T管表示浮标对第一个钢管的拉力，2T管表示第一个钢管对第二个钢管的拉力，1表示浮标对第一个钢管的拉力与其浮力所成的夹角，2表示第一个钢管对第二个钢管的拉力与其浮力所成的夹角。由图可知，第一根钢管在竖直方向上受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力，浮标对其有一个斜向上的拉力，第二根钢管对其有一个斜向下的拉力。根据受力分析平衡列出力学方程组。竖直方向：ii+1ii+1+Tsin=cosFGT管管管管（7）水平方向：ii+1ii+1cossinTT管管（8）化简得：iiiii+1arctanTsincosTFG管管管管（9）ii+1i+1i=sinsinTT管管（10）（3）对