一轮复习：-对数与对数函数

一轮复习：对数与对数函数[最新考纲]1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象；3．体会对数函数是一类重要的函数模型；4．了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.知识梳理1．对数的概念如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1)①＝N；②logaaN＝N；③logbN＝logaNlogab；④＝nmlogab；⑤logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad.(2)对数的运算法则(a0，且a≠1，M0，N0)①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④loganM＝1nlogaM.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＜0(5)当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数辨析感悟1．对数运算的辨析(1)(2013·浙江卷改编)已知x，y为正实数，①2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy，②2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy，③2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy，④2lg(xy)＝2lgx·2lgy，以上四个式子错误的是①②③.(√)(2)(2013·中山调研改编)若log4[log3(log2x)]＝0，则＝24.(√)2．对数函数的理解(3)(2013·吉林调研改编)函数y＝log3(2x－4)的定义域为(2，＋∞)．(√)(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限．(√)(5)(2014·长沙模拟改编)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝2.(×)(6)log2x2＝2log2x.(×)[感悟·提升]三个防范一是在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；二是对公式要熟记，防止混用；三是对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0＜a＜1和a＞1分类讨论，否则易出错.学生用书第25页考点一对数的运算例1(1)1－log632＋log62·log618log64的值是________．(2)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝12x；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log23)＝()．A.124B.112C.18D.38(1)解析原式＝1－2log63＋log632＋log663·log66×3log64＝1－2log63＋log632＋1－log631＋log63log64＝1－2log63＋log632＋1－log632log64＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.答案(1)1(2)A规律方法(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．训练1(1)已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.(2)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2＝________.解析(1)am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝()am2·an＝22×3＝12.(2)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.答案(1)12(2)2考点二对数函数的图象及其应用例2(2012·新课标全国卷)当0＜x≤12时，4x＜logax，则a的取值范围是()．A.0，22B.22，1C．(1，2)D．(2，2)审题路线在同一坐标系下作出两个函数y＝4x与y＝logax的图象⇒画函数y＝logax的图象可考虑两种情况：a＞1和0＜a＜1⇒观察图象，当a＞1时不符合题意舍去，所以只画出0＜a＜1的情形⇒观察图象的交点12，2满足条件：loga12＞2即可．解析由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜logax0＜x≤12，即当0＜x≤12时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．又当x＝12时，＝2，即函数y＝4x的图象过点12，2，把点12，2代入函数y＝logax，得a＝22，若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需22＜a＜1(如图所示)．当a＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是22，1.答案B规律方法一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．训练2(2014·石家庄二模)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()．A．x1x2＜0B．x1x2＝1C．x1x2＞1D．0＜x1x2＜1解析构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|，并作出它们的图象，如图所示．答案D考点三对数函数的性质及其应用例3(1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()．A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c(2)设函数f(x)＝log2x，x＞0，log12－x，x＜0.若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)解析(1)a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a＞b＞c.(2)由题意可得a＞0，log2a＞－log2a或a＜0，log12－a＞log2－a，解得a＞1或－1＜a＜0.答案(1)D(2)C规律方法在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【训练3】(1)(2014·郑州模拟)若x∈(1e，1)，a＝lnx，b＝12lnx，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为()．A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞b＞cD．b＞a＞c(2)函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是()．A．(1，＋∞)B．(0,1)C.0，13D．(3，＋∞)解析(1)依题意得a＝lnx∈(－1,0)，b＝12lnx∈(1,2)，c＝x∈(e－1,1)，因此b＞c＞a.(2)由于a＞0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a＞1，又u＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3＞0，即a＞3.答案(1)B(2)D(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a＞1和0＜a＜1的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．(2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．学生用书第26页教你审题2——巧用对数函数图象解题[审题]一审条件❶：转化函数y＝|log2x|为y＝log2x，x＞1，－log2x，0＜x＜1.得到图象，如图．二审条件❷：见上图．三审条件❸：转化为a是A，C两点横坐标之差的绝对值，b是B，D两点横坐标之差的绝对值．A，B的横坐标即是方程|log2x|＝m的解，C，D的横坐标即是方程|log2x|＝82m＋1的解，求出A，B，C，D点的横坐标．四审问题❹：把ba转化为关于m的函数，利用导数或不等式求解即可．解析数形结合可知A，C点的横坐标在区间(0,1)上，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)上，而且xC－xA与xB－xD同号，所以ba＝|xB－xD||xC－xA|＝xB－xDxC－xA.根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝，xB＝2m，xD＝，所以ba＝＝.只要求出82m＋1＋m的最小值即可．法一构造函数g(m)＝82m＋1＋m，则g′(m)＝－162m＋12＋1＝2m＋52m－32m＋12，由于m＞0，显然可得g(m)在(0，＋∞)上有唯一的极小值点，也是最小值点m＝32，故g(m)min＝g32＝72，即ba的最小值为＝82.法二82m＋1＋m＝4m＋12＋m＝4m＋12＋m＋12－12≥4－12＝72，当且仅当4m＋12＝m＋12，即m＝32时等号成立，故ba的最小值为＝82.答案B[反思感悟](1)利用对数函数的图象研究与对数有关的图象问题时要注意对称变换的应用；(2)本题是以函数图象为载体，AC和BD在x轴上的投影长度用坐标表示是解决问题的切入点，再转化为求函数的最值问题，难度稍大．【自主体验】已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．解析分别作出三个函数的图象，如图所示：由图可知，x2＜x3＜x1.答案x2＜x3＜x1基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．如果12logx＜12logy＜0，那么()．A．y＜x＜1B．x＜y＜1C．1＜x＜yD．1＜y＜x解析∵12logx＜12logy＜log121，又y＝12logx是(0，＋∞)上的减函数，∴x＞y＞1.答案D2．(2014·深圳调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝log3(1＋x)，则f(－2)＝()．A．－1B．－3C．1D．3解析f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.答案A3．(2013·宣城二模)若a＝ln264，b＝ln2×ln3，c＝ln2π4，则a，b，c的大小关系是()．A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．b＞a＞c解析∵ln6＞lnπ＞1，∴a＞c，排除B，C；b＝ln2·ln3＜ln2＋ln322＝ln264＝a，排除D.答案A4．若函数g(x)＝log3(ax2＋2x－1)有最大值1，则实数a的值等于()．A.12B.14C．－14D．4解析令h(x)＝ax2＋2x－1，由于函数g(x)＝log3h(x)是递增函数，所以要使函数g(x)＝log3(ax2＋2x－1)有最大值1，应使h(x)＝ax2＋2x－1有最大值3，因此有a＜0，Δ＝4＋4a≥0，－4a－44a＝3，解得a＝－14，此即为实数a的值．答案C5．已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是()．A．(0,1)B．(1,3)C．(0,1)∪(1,3)D．(3，＋∞)解析记u＝(3－a)x－a，当1＜a＜3时，y＝lo