江苏省苏州市2019届高三数学上学期期末考试试题

江苏省苏州市2019届高三数学上学期期末考试试题(满分160分，考试时间120分钟)2019.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知集合A＝{1，3，5}，B＝{3，4}，则集合A∩B＝Ｗ.2.复数z＝1＋2ii(i为虚数单位)的虚部是Ｗ.3.某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在60～80分的学生人数是Ｗ.4.连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为Ｗ.5.已知3sin(α－π)＝cosα，则tan(π－α)的值是Ｗ.6.如图所示的流程图中，若输入的a，b分别为4，3，则输出n的值为Ｗ.7.在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为Ｗ.8.曲线y＝x＋2ex在x＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为Ｗ.9.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为Ｗ.10.在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为Ｗ.11.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S5S10＝13，则S5S20＋S10＝Ｗ.12.设函数f(x)＝－x2＋2x，x≥0，－2x，x0，若方程f(x)－kx＝3有三个相异的实根，则实数k的取值范围是Ｗ.13.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则AM→·AN→的最小值是Ｗ.14.设函数f(x)＝2x－ax2，若对任意x1∈(－∞，0)，总存在x2∈[2，＋∞)，使得f(x2)≤f(x1)，则实数a的取值范围是Ｗ.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点.求证：(1)平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)C1F∥平面ABE.16.(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知2bccosA＝2c－3a.(1)求角B的大小；(2)设函数f(x)＝cosx·sin(x＋π3－34)，求f(A)的最大值.17.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为12的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点A且斜率为32的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于点M，求点M的坐标.18.(本小题满分16分)如图，长途车站P与地铁站O的距离为5千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为45°，OP与l1的夹角θ满足tanθ＝12(其中0θπ2)，现要经过P修一条直路分别与道路l1，l2交汇于A，B两点，并在A，B处设立公共自行车停放点.(1)已知修建道路PA，PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离；(2)考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修单价分别为n元/千米和22n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B点的位置.19.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－4a(a，b∈R).(1)当a＝b＝1时，求f(x)的单调增区间；(2)当a≠0时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求ba的值；(3)当a＝0时，若f(x)lnx的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围.20.(本小题满分16分)定义：对于任意n∈N*，xn＋xn＋2－xn＋1仍为数列{xn}中的项，则称数列{xn}为“回归数列”.(1)已知an＝2n(n∈N*)，判断数列{an}是否为“回归数列”，并说明理由；(2)若数列{bn}为“回归数列”，b3＝3，b9＝9，且对于任意n∈N*，均有bnbn＋1成立.①求数列{bn}的通项公式；②求所有的正整数s，t，使得等式b2s＋3s＋1－1b2s＋3s－1＝bt成立.2019届高三模拟考试试卷(四)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A，B，C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.(选修42：矩阵与变换)已知矩阵M＝m723的逆矩阵M－1＝n－7－2m，求实数m，n的值.B.(选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C的方程是ρ＝4cosθ.在以极点为原点，极轴为x轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l的参数方程是x＝22t＋m，y＝22t(t为参数).若直线l与圆C相切，求实数m的值.C.(选修45：不等式选讲)设a，b，c都是正数，求证：a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b≥12(a＋b＋c).【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.已知正四棱锥SABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为ξ.(1)求概率P(ξ＝2)；(2)求ξ的分布列和数学期望.23.如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD，PA＝AD，PA与平面PBC所成角的正弦值为217.(1)求侧棱PA的长；(2)设点E为AB中点，若PA≥AB，求二面角BPCE的余弦值.2019届高三模拟考试试卷(苏州)数学参考答案及评分标准1.{3}2.－13.254.5365.136.37.108.239.2310.(x－5)2＋(y－2)2＝1711.11812.(－2，2－23)13.82－814.[0，1]15.证明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB.(2分)因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，所以AB⊥平面B1BCC1.(4分)又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(6分)(2)取AB中点G，连结EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC.(8分)因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，(11分)所以C1F∥EG.因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(14分)16.解：(1)在△ABC中，因为2bcosA＝2c－3a，由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，所以2sinBcosA＝2sinC－3sinA.(2分)在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)，所以2sinBcosA＝2sin(A＋B)－3sinA，即2sinBcosA＝2sinAcosB＋2cosAsinB－3sinA，所以3sinA＝2cosBsinA，(4分)在△ABC中，sinA≠0，所以cosB＝32.又B∈(0，π)，所以B＝π6.(6分)(2)f(x)＝cosx·(sinx·cosπ3＋cosx·sinπ3)－34(8分)＝12sinx·cosx＋32cos2x－34＝14sin2x＋34(cos2x＋1)－34＝12sin(2x＋π3)，(10分)所以f(A)＝12sin(2A＋π3).在△ABC中，B＝π6，且A＋B＋C＝π，所以A∈(0，5π6)，(12分)所以2A＋π3∈(π3，2π)，所以当2A＋π3＝π2，即A＝π12时，f(A)的最大值为12.(14分)17.解：(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，半焦距为c，因为椭圆的离心率为12，所以ca＝12，即a＝2c.因为A到右准线的距离为6，所以a＋a2c＝3a＝6，(2分)解得a＝2，c＝1，(4分)所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆E的标准方程为x24＋y23＝1.(6分)(2)直线AB的方程为y＝32(x＋2)，由y＝32（x＋2），x24＋y23＝1，得x2＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－1，则点B的坐标为(－1，32).(9分)由题意，得右焦点F(1，0)，所以直线BF的方程为y＝－34(x－1).(11分)由y＝－34（x－1），x24＋y23＝1，得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝137，(13分)所以点M坐标为(137，－914).(14分)18.解：(1)以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，因为0θπ2，tanθ＝12，所以OP：y＝12x.设P(2t，t)，由OP＝5，得t＝1，所以P(2，1).(2分)(解法1)由题意得2m·PA＝m·PB，所以BP＝2PA，所以点B的纵坐标为3.因为点B在直线y＝x上，所以B(3，3)，(4分)所以AB＝32PB＝352.(解法2)由题意得2m·PA＝m·PB，所以BP→＝2PA→.设A(a，0)(a0)，又点B在射线y＝x(x0)上，所以可设B(b，b)(b0)，由BP→＝2PA→，得2－b＝2（a－2），1－b＝－2，所以a＝32，b＝3，(4分)所以A(32，0)，B(3，3)，AB＝（3－32）2＋32＝352.答：点A，B之间的距离为352千米.(6分)(2)(解法1)设总造价为S，则S＝n·OA＋22n·OB＝(OA＋22OB)·n，设y＝OA＋22OB，要使S最小，只要y最小.当AB⊥x轴时，A(2，0)，这时OA＝2，OB＝22，所以y＝OA＋22OB＝2＋8＝10.(8分)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0).令y＝0，得点A的横坐标为2－1k，所以OA＝2－1k；令x＝y，得点B的横坐标为2k－1k－1.(10分)因为2－1k0，且2k－1k－10，所以k0或k1，此时y＝OA＋22OB＝2－1k＋4（2k－1）k－1，y′＝1k2＋－4（k－1）2＝－（k＋1）（3k－1）k2（k－1）2.(12分)当k0时，y在(－∞，－1)上递减，在(－1，0)上递增，所以ymin＝y|k＝－1＝910，此时A(3，0)，B(32，32)；(14分)当k1时，y＝2－1k＋8（k－1）＋4k－1＝10＋4k－1－1k＝10＋3k＋1k（k－1）10.综上，要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点322千米处.(16分)(解法2)如图，作PM∥OA交OB于点M，交y轴于点Q，作PN∥OB交OA于点N，因为P(2，1)，所以OQ＝1.因为∠BOQ＝45°，所以QM＝1，OM＝2，所以PM＝1，PN＝OM＝2.由PM∥OA，PN∥OB，得2OB＝PAAB，1OA＝PBAB，(8分)所以2OB＋1OA＝PAAB＋PBAB＝1.(10分)设总造价为S，则S＝n·OA＋22n·OB＝(OA＋22OB)·n，设y＝OA＋22OB，要使S最小，只要y最小.y＝OA＋22OB＝(OA＋22OB)(2OB＋1OA)＝5＋2(OAOB＋2OBOA)≥9，(14分)当且仅当OA＝2OB时取等号，此时OA＝3，OB＝322.答：要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点322千米处.(16分)19.解：(1)当a＝b＝1时，f(x)＝x3＋x2－4，f′(x)＝3x2＋2x.(2分)令f′(x)0，解得x0或x－23，所以f(x)的单调增区间是(－∞，－23)和(0，＋∞).(4分)(2)(解法1)f′(x)＝3ax2＋2bx，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2b3a.(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点，所以f(0)＝0或f(－2b3a)＝0.当f(0)＝0时，得a＝0，不合题意，舍去；(8分)当f(－