解三角形高考大题-带答案

解三角形高考大题，带答案1.（宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD△是等边三角形，ABC△是等腰直角三角形，90ACB∠，BD交AC于E，2AB．（Ⅰ）求cosCAE∠的值；（Ⅱ）求AE．解：（Ⅰ）因为9060150BCD∠，CBACCD，所以15CBE∠．所以62coscos(4530)4CBE∠．····················································6分（Ⅱ）在ABE△中，2AB，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE．故2sin30cos15AE12262462．12分2.（江苏17）（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。【解析】：本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则10coscosAQOABAO，故10cosOB又1010OPtan，所以10101010coscosyOAOBOPtanBACDEBCDAOP所求函数关系式为2010sin10(0)cos4y②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以222(10)1020200OAOBxxx所求函数关系式为2220200(010)yxxxx（2）选择函数模型①，2210coscos(2010sin)(sin)10(2sin1)'coscosy令'0y得1sin2046当(0,)6时'0y，y是θ的减函数；当(,)64时'0y，y是θ的增函数；所以当6时，min120102101031032y此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边1033km处。3.（辽宁17）（本小题满分12分）在ABC△中，内角ABC，，对边的边长分别是abc，，，已知2c，3C．（Ⅰ）若ABC△的面积等于3，求ab，；（Ⅱ）若sin2sinBA，求ABC△的面积．解：（Ⅰ）由余弦定理得，224abab，又因为ABC△的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab．························4分联立方程组2244ababab，，解得2a，2b．··············································6分（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2ba，·························································8分联立方程组2242ababba，，解得233a，433b．所以ABC△的面积123sin23SabC．·····················································12分4．（全国Ⅰ17）（本小题满分12分）设ABC△的内角ABC，，所对的边长分别为abc，，，且cos3aB，sin4bA．（Ⅰ）求边长a；（Ⅱ）若ABC△的面积10S，求ABC△的周长l．解：（1）由cos3aB与sin4bA两式相除，有：3coscoscoscot4sinsinsinaBaBbBBbAAbBb又通过cos3aB知：cos0B，则3cos5B，4sin5B，则5a．（2）由1sin2SacB，得到5c．由222cos2acbBac，解得：25b，最后1025l．5．（全国Ⅱ17）（本小题满分10分）在ABC△中，5cos13A，3cos5B．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）设5BC，求ABC△的面积．解：（Ⅰ）由5cos13A，得12sin13A，由3cos5B，得4sin5B．···········································································2分所以16sinsin()sincoscossin65CABABAB．·····································5分（Ⅱ）由正弦定理得45sin13512sin313BCBACA．···········································8分所以ABC△的面积1sin2SBCACC113165236583．·····················10分6.（上海17）（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路ADDC，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．【解法一】设该扇形的半径为r米.由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=060……………………………4分在CDO中，22022cos60,CDODCDODOC……………6分1200OCA即22215003002500300,2rrr…………………….9分解得490044511r（米）.…………………………………………….13分【解法二】连接AC，作OH⊥AC，交AC于H…………………..2分由题意，得CD=500（米），AD=300（米），0120CDA………….4分2220222,2cos12015003002500300700,2ACDACCDADCDAD在中∴AC=700（米）…………………………..6分22211cos.214ACADCDCADACAD………….…….9分在直角1411,350,cos0,14HAOAHHA中（米）∴4900445cos11AHOAHAO（米）.………………………13分.（重庆17）（本小题满13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知2223bcabc，求：（Ⅰ）A的大小;（Ⅱ）2sincossin()BCBC的值.解：(Ⅰ)由余弦定理，2222cos,abcbcA22233cos,222.6bcabcAbcbcA故所以(Ⅱ)2sincossin()BCBC2sincos(sincoscossin)sincoscossinsin()sin()1sin.2BCBCBCBCBCBCAA8.在ABC△中,内角,,ABC对边的边长分别是,,abc.已知2,3cC.⑴若ABC△的面积等于3,求,ab;H1200OCA⑵若sinsin()2sin2CBAA,求ABC△的面积.