高中数学导数知识点归纳

导数及其应用一．导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()yfx在0xx处的瞬时变化率是000()()limxfxxfxx，我们称它为函数()yfx在0xx处的导数，记作0()fx或0|xxy，即0()fx=000()()limxfxxfxx2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点nP趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnfxfxkxx，当点nP趋近于P时，函数()yfx在0xx处的导数就是切线PT的斜率k，即0000()()lim()nxnfxfxkfxxx3.导函数：当x变化时，()fx便是x的一个函数，我们称它为()fx的导函数.()yfx的导函数有时也记作y,即0()()()limxfxxfxfxx例一：若2012)1(/f，则xfxfx)1()1(lim0=，xfxfx)1()1(lim0=，xxffx4)1()1(lim0=，xfxfx)1()21(lim0=。二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:2若()fxx,则1()fxx;3若()sinfxx,则()cosfxx4若()cosfxx,则()sinfxx;5若()xfxa,则()lnxfxaa6若()xfxe,则()xfxe7若()logxafx,则1()lnfxxa8若()lnfxx,则1()fxx2）导数的运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；2.[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx3.2()()()()()[]()[()]fxfxgxfxgxgxgx3）复合函数求导()yfu和()ugx,称则y可以表示成为x的函数,即(())yfgx为一个复合函数(())()yfgxgx一、知识自测：1、几个常用函数的导数：（1）f(x)=C，则f’(x)=_______（2）f(x)=x，则f’(x)=_______（3）f(x)=2x，则f’(x)=_______（4）f(x)=x1，则f’(x)=_______（5）f(x)=x，则f’(x)=_______2、基本初等函数的导数公式：（1）f(x)=C（C为常数），则f’(x)=_______（2）f(x)=)(Qaxa，则f’(x)=_______（3）f(x)=sinx，则f’(x)=_______（4）f(x)=cosx，则f’(x)=_______（5）f(x)=xa，则f’(x)=_______（6）f(x)=xe，则f’(x)=_______（7）f(x)=xalog，则f’(x)=_______（8）f(x)=xln，则f’(x)=_______3、导数的运算法则：已知)(),(xgxf的导数存在，则：（1）_______________])()([xgxf（2）__________________])()([xgxf（3）])()([xgxf____________________二、典型例题xyxyxyxyyxycos)6(log)5(ln)4(1)3(5)2()1(125、求下列函数的导数例555)4(5)3(1)2()1(1eyyxyxyx、求下列函数的导数：例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323yxx（2）1111yxx；（3）sinlnyxxx；（4）4xxy；（5）1ln1lnxyx．（6）2(251)xyxxe；（7）sincoscossinxxxyxxx解：（1）'3'3'''2(23)()(2)(3)32yxxxxx，'232yx。（2）'''11()()11yxx''22(1)(1)(1)(1)xxxx221122(1)(1)xxxx22111[]2(1)(1)xxx2221(1)(1)(1)2xxxx2(1)(1)xxxx'2(1)(1)xxyxx（3）'''(sinln)[(ln)sin]yxxxxxx''(ln)sin(ln)(sin)xxxxxx1(1ln)sin(ln)cosxxxxxxxsinlnsinlncosxxxxxx'sinlnsinlncosyxxxxxx（4）''''224(4)144ln41ln4()4(4)(4)4xxxxxxxxxxxxxy，'1ln44xxy。（5）''''2211ln212()(1)2()21ln1ln1ln(1ln)(1ln)xxyxxxxxx'22(1ln)yxx（6）'2'2'(251)(251)()xxyxxexxe22(45)(251)(24)xxxxexxexxe，'2(24)xyxxe。（7）''sincos()cossinxxxyxxx''2(sincos)(cossin)(sincos)(cossin)(cossin)xxxxxxxxxxxxxxx2(coscossin)(cossin)(sincos)(sinsins)(cossin)xxxxxxxxxxxxxcoxxxx2sin(cossin)(sincos)s(cossin)xxxxxxxxxcoxxxx22(cossin)xxxx1、xxxysin322、xeyxln3、xxxy21ln(1)xxy2sinln（2）)32(sin2xy（3）3223xxy（4）4)31(1xy（5）21xxy（6）)132(log22xxy四．课堂练习1、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数f(x)=x3-2x+3的导数。2、求下列函数的导数：xxysin13）（3)2(24xxxy4532323xxxy）（)23)(32()4(2xxyxxyxxycossin6sin52）（）（三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下＇关系：在某个区间(,)ab内，如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间单调递减.Ps：二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f（x）的导数y＇=f＇（x）仍然是x的函数，则y＇=f＇（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。几何意义（1）切线斜率变化的速度（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）2.函数的极值（局部概念）与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()yfx的极值的方法是:(1)如果在0x附近的左侧()0fx,右侧()0fx,那么0()fx是极大值;(2)如果在0x附近的左侧()0fx,右侧()0fx,那么0()fx是极小值;(3)若f＇（x）=0，则在该点函数不增不减，可能为极值，也可能就为一过渡点。4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()yfx在[,]ab上的最大值与最小值的步骤（1）求函数()yfx在(,)ab内的极值；（2）将函数()yfx的各极值与端点处的函数值()fa，()fb比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.可导奇函数的导函数的是偶函数可导偶函数的导函数的是奇函数III.求导的常见方法：①常用结论：xx1|)|(ln'.②形如))...()((21naxaxaxy或))...()(())...()((2121nnbxbxbxaxaxaxy两边同取自然对数，可转化求代数和形式.②无理函数或形如xxy这类函数，如xxy取自然对数之后可变形为xxylnln，对两边求导可得xxxxxyyxyyxxxyylnln1ln'''.利用导数研究函数的图象1．f（x）的导函数)(/xf的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）（A）（B）（C）（D）2．函数的图像为14313xxy(A)3．方程内根的个数为在)2,0(076223xx(B)A、0B、1C、2D、3专题8：导数（文）经典例题剖析考点一：求导公式。例1.()fx是31()213fxxx的导函数，则(1)f的值是。解析：2'2xxf，所以3211'f答案：3xyo4-424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-2o4224考点二：导数的几何意义。例2.已知函数()yfx的图象在点(1(1))Mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff。解析：因为21k，所以211'f，由切线过点(1(1))Mf，，可得点M的纵坐标为25，所以251f，所以31'1ff答案：3例3.曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是。解析：443'2xxy，点(13)，处切线的斜率为5443k，所以设切线方程为bxy5，将点(13)，带入切线方程可得2b，所以，过曲线上点(13)，处的切线方程为：025yx答案：025yx点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C：xxxy2323，直线kxyl:，且直线l与曲线C相切于点00,yx00x，求直线l的方程及切点坐标。解析：直线过原点，则0000xxyk。由点00,yx在曲线C上，则02030023xxxy，2302000xxxy。又263'2xxy，在00,yx处曲线C的切线斜率为263'0200xxxfk，26323020020xxxx，整理得：03200xx，解得：230x或00x（舍），此时，830y，41k。所以，直线l的方程为xy41，切点坐标是83,23。答案：直线l的方程为xy41，切点坐标是83,23点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例5.已知1323xxaxxf在R上是减函数，求a的取值范围。解析：函数xf的导数为163'2xaxxf。对于Rx都有0'xf时，xf为减函数。由Rxxax01632可得012360aa，解得3a。所以，当3a时，函数xf对Rx为减函数。（1）当3a时，98313133323xxxxxf。由函数3xy在R上的单调性，可知当3a是，函数xf对Rx为减函数。（2）当3a时，函数xf在R上存在增区间。所以，当3a时，函数xf在R上不是单调递减函数。综合（1）（2）（3）可知3a。答案：3a点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例6.设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值。（1）求a、b的值；（2）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围。解析：（1）