2019-2020学年高中数学-第一章-常见的新定义数列问题拓展资料素材-北师大版必修5.doc

2019-2020学年高中数学第一章常见的新定义数列问题拓展资料素材北师大版必修5近年高考中，常常出现新定义数列的考题．题目常常给出一种新数列的定义，通过阅读与理解题意，完成相关的问题．这是一类创新题型，需要对已经学过的数列知识理解彻透，并学会灵活运用这些知识去解决相关问题．一、等和数列【例1】（2004·北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列na是等和数列，且12a，公和为5，那么18a的值为，且这个数列的前21项和21S的值为．【分析】先对等和数列进行一般性的探讨．设na是等和数列，公和为m，则由等和数列的定义知，数列na的各项依次为1111amaama，，，，，即11naama，，1122nnamSmn，，【解析】因为12a，公和为5m，所以18523a，2121125522S．二、等积数列【例2】（2005·保定市高考模拟）在一个数列中，若每一项与它的后一项的积都为同一个常数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积．若数列na是等积数列，且102a，公积为6，则1592005aaaa（）A．5022B．5012C．5023D．5013【分析】先对等积数列进行一般性的探讨．设na是等积数列，公积为m，则由等积数列的定义知，数列na的各项依次为1111mmaaaa，，，，，即11naama，，【解析】由2005114n可得：501n，又因为102a，公积为6，所以13a，50215920053aaaa，故选C．n为奇数；n为偶数．n为奇数；n为偶数．n为奇数；n为偶数．三、等方比数列【例3】（2007·湖北）若数列na满足212nnapa，（p为正常数，*nN），则称na为“等方比数列”．甲：数列na是等方比数列；乙：数列na是等比数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】由等比数列的定义数列，若乙：na是等比数列，公比为q，即22112nnnnaaqqaa，则甲命题成立；反之，若甲：数列na是等方比数列，即22112nnnnaaqqaa，即数列na公比不一定为q，则命题乙不成立，故选B．四、绝对差数列【例4】（2006·北京）在数列na中，若12aa，是正整数，且12nnnaaa，345n，，，，则称na为“绝对差数列”．⑴举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前10项）；⑵若“绝对差数列”na中203a，210a，数列nb满足12nnnnbaaa，123n，，，，分别判断当n时，na与nb的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；⑶证明任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．【分析】关键是读懂题目中“绝对差数列”的含义．【解析】⑴13a，21a，32a，41a，51a，60a，71a，81a，90a，101a．（答案不唯一）；⑵在“绝对差数列”na中，因为203a，210a，所以自第20项开始，203a，210a，223a，240a，253a，…，即每个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当n时，na的极限不存在，而当20n≥时，126nnnnbaaa，所以lim6nxb．⑶证明根据定义，数列na必在有限项后出现零项．证明如下：假设na中没有零项，由于12nnnaaa，所以对任意的n，都有1na≥，从而当12nnaa时，12113nnnnaaaan≤≥，当12nnaa时，21213nnnnaaan≤≥，即na的值要么比1na至少小1，要么比2na至少小1；令212122212nnnnnnaaaCaaa，，123n，，，，则101234nnCCn，，，由于1C是确定的正整数，这样减少下去，必然存在0kC，这与0123nCn，，，，矛盾．所以na必有零项．若第一次出现的零项为第n项，记10naAA，则自第n项开始，第三个相邻的项周期地取值0，A，A，即30nka，31nkaA，32nkaA，0123k，，，，．所以“绝对差数列”na中总含有无穷多个为零的项．五、对称数列【例5】（2007·上海）若有穷数列1a，2a，12naaa，，，（n是正整数），满足1naa，21naa，…，1naa，即1iniaa（i是正整数，且1in≤≤），就称该数列为“对称数列”．⑴已知数列nb是项数为7的对称数列，且1234bbbb，，，成等差数列，14211bb，，试写出nb的每一项；⑵已知nc是项数为211kk≥的对称数列，且121kkkccc，，，构成首项为50，公差为4的等差数列，数列nc的前21k项和为21kS，则当k为何值时，21kS取到最大值？最大值为多少？⑶对于给定的正整数1m，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得211222m，，，，成为数列中的连续项；当1500m时，试求其中一个数列的前2008项和2008S．【解析】⑴设nb的公差为d，则4132311bbdd，解得3d，所以数列nb为25811852，，，，，，．⑵21121121kkkkkScccccc1212kkkkcccc，222141341350kSk，所以当13k时，21kS取得最大值．21kS的最大值为626．⑶所有可能的“对称数列”是：①22122122222221mmm，，，，，，，，，，；②2211221222222221mmmm，，，，，，，，，，，；③122221222212222mmmm，，，，，，，，，，；④1222212222112222mmmm，，，，，，，，，，，．对于①，当2008m≥时，2200720082008122221S．当15002007m≤时，212220092008122222mmmmS12200912200921222221mmmmmm．对于②，当2008m≥时，2008200821S．当15002007m≤时，1220082008221mmS．对于③，当2008m≥时，2008200822mmS．当15002007m≤时，20092008223mmS．对于④，当2008m≥时，2008200822mmS．当15002007m≤时，20082008222mmS．六、一阶差分数列【例6】（2007·青岛质检）对于数列na，定义na为数列na的“一阶差分数列”，其中*1nnnaaanN．⑴若数列na的通项公式2*51322nannnN，求na的通项公式；⑵若数列na的首项是1，且2nnnaa，①证明数列2nna为等差数列；②求na的前n项和nS．【解析】⑴依题意1nnnaaa，所以2251351311542222nannnnn．⑵①因为2nnnaa，所以12nnnnaaa，即122nnnaa，所以111222nnnnaa，又因为1122a，所以2nna是以12为首项，12为公差的等差数列；②由①得：1112222nnann．所以1222nnnnan．所以1232nnSaaan．错位相减得：121nnSn．七、周期数列【例7】在数列na中，如果存在非零常数T，使得nTmaa对任意正整数m均成立，那么就称na为“周期数列”，其中T叫做数列na的周期．已知数列nx满足*112nnnxxxnnN≥，，如果11x，2xa10aa≤，，当数列nx周期为3时，则该数列的前2008项的和为（）A．668B．669C．1338D．1339【解析】由题知，3211xxxa，432111xxxaax，所以11aa或11aa，因为1a≤，0a，所以1a，即得：123456110110xxxxxx，，，，，，，即数列nx自第1项开始，每三个相邻的项周期地取值1，1，0．而200836691，所以2008266911339S，选D．