【新高考复习】7 第7讲　定积分与微积分基本定理 新题培优练

[基础题组练]1．定积分01(3x＋ex)dx的值为()A．e＋1B．eC．e－12D．e＋12解析：选D.01(3x＋ex)dx＝32x2＋ex10＝32＋e－1＝12＋e.2．若f(x)＝lgx，x＞0，x＋0a3t2dt，x≤0，f(f(1))＝1，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－2解析：选A.因为f(1)＝lg1＝0，f(0)＝0a3t2dt＝t3|a0＝a3，所以由f(f(1))＝1得a3＝1，所以a＝1.3．若f(x)＝x2＋201f(x)dx，则01f(x)dx＝()A．－1B．－13C.13D．1解析：选B.因为f(x)＝x2＋201f(x)dx，所以01f(x)dx＝13x3＋2x01f（x）dx|10＝13＋201f(x)dx，所以01f(x)dx＝－13.4．(2019·湖南湘中名校联考)设f(x)＝1－x2，x∈[－1，1]，x2－1，x∈（1，2]，则－12f(x)dx的值为()A.π2＋43B.π2＋3C.π4＋43D.π4＋3解析：选A.－12f(x)dx＝－111－x2dx＋12(x2－1)dx＝12π×12＋13x3－x21＝π2＋43，故选A.5．由曲线y＝x2和曲线y＝x围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为()A.13B.310C.14D.15解析：选A.由y＝x2，y＝x，解得x＝0，y＝0或x＝1，y＝1，所以阴影部分的面积为01(x－x2)dx＝13.故选A.6．定积分－11(x2＋sinx)dx＝________．解析：－11(x2＋sinx)dx＝－11x2dx＋－11sinxdx＝201x2dx＝2·x3310＝23.答案：237.－11(x2tanx＋x3＋1)dx＝________．解析：因为x2tanx＋x3是奇函数．所以－11(x2tanx＋x3＋1)dx＝－111dx＝x|1－1＝2.答案：28．一物体受到与它运动方向相反的力：F(x)＝110ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时F(x)所做的功等于________．解析：由题意知W＝－01110ex＋xdx＝－110ex＋12x210＝－e10－25.答案：－e10－259．求下列定积分：(1)12x－x2＋1xdx；(2)－π0(cosx＋ex)dx.解：(1)12x－x2＋1xdx＝12xdx－12x2dx＋121xdx＝x22|21－x33|21＋lnx|21＝32－73＋ln2＝ln2－56.(2)－π0(cosx＋ex)dx＝－π0cosxdx＋－π0exdx＝sinx|0－π＋ex|0－π＝1－1eπ.10．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，设过点(1，2)处的切线的斜率为k，则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图中阴影部分：由y＝x2，y＝2x可得交点A(2，4)，O(0，0)，故y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积S＝02(2x－x2)dx＝x2－13x3|20＝4－83＝43.[综合题组练]1．由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭平面图形的面积为()A.329B．4－ln3C．4＋ln3D．2－ln3解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：由xy＝1，y＝x，得x＝1，y＝1或x＝－1，y＝－1.（舍）由y＝x，x＝3，得x＝3，y＝3.故阴影部分的面积为13x－1xdx＝12x2－lnx31＝4－ln3.2．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若01f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．解析：01f(x)dx＝01(ax2＋c)dx＝13ax3＋cx10＝13a＋c＝f(x0)＝ax20＋c，所以x20＝13，x0＝±33.又因为0≤x0≤1，所以x0＝33.答案：333.－11(1－x2＋ex－1)dx＝________．解析：－11(1－x2＋ex－1)dx＝－111－x2dx＋－11(ex－1)dx.因为－111－x2dx表示单位圆的上半部分的面积，所以－111－x2dx＝π2.而－11(ex－1)dx＝(ex－x)1－1＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－1e－2，所以－11(1－x2＋ex－1)dx＝π2＋e－1e－2.答案：π2＋e－1e－24．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则02f(x)dx＝________．解析：因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)．所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.所以f(x)＝x3－3x2.故02f(x)dx＝02(x3－3x2)dx＝x44－x320＝－4.答案：－45．(创新型)如图所示，过点A(6，4)作曲线f(x)＝4x－8的切线l.(1)求切线l的方程；(2)求切线l，x轴及曲线f(x)＝4x－8所围成的封闭图形的面积S.解：(1)由f(x)＝4x－8，所以f′(x)＝1x－2.又点A(6，4)为切点，所以f′(6)＝12，因此切线方程为y－4＝12(x－6)，即x－2y＋2＝0.(2)令f(x)＝0，则x＝2，即点C(2，0)．在x－2y＋2＝0中，令y＝0，则x＝－2，所以点B(－2，0)．故S＝－2612x＋1dx－264x－8dx＝14x2＋x6－2－16(4x－8)3262＝163.6．(应用型)如图，在曲线C：y＝x2，x∈[0，1]上取点P(t，t2)，过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝1及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S1，S2.当S1＝S2时，求t的值．解：根据题意，直线l的方程是y＝t2，且0＜t＜1.结合题图，得交点坐标分别是A(0，0)，P(t，t2)，B(1，1)．所以S1＝0t(t2－x2)dx＝t2x－13x3|t0＝t3－13t3＝23t3，0＜t＜1.S2＝t1(x2－t2)dx＝13x3－t2x|1t＝13－t2－13t3－t3＝23t3－t2＋13，0＜t＜1.由S1＝S2，得23t3＝23t3－t2＋13，所以t2＝13.又0＜t＜1，所以t＝33.所以当t＝33时，S1＝S2.