【新高考复习】4 第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系　新题培优练

[基础题组练]1．直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是()A．[－2，2]B．[－22，22]C．[－2－1，2－1]D．[－22－1，22－1]解析：选D.圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝|2－1＋m|2＝|m＋1|2，若直线l与圆C恒有公共点，则|m＋1|2≤2，解得－22－1≤m≤22－1，故选D.2．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．3．(2019·成都模拟)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝3，则OA→·OB→的值是()A．－12B.12C．－43D．0解析：选A.在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝3，可得∠AOB＝120°，所以OA→·OB→＝1×1×cos120°＝－12.4．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝()A．－6B．±6C．－5D．±5解析：选D.记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝2可知，圆心C(1，2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b|5＝1，解得b＝±5.5．(2019·四川南充模拟)已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为()A．(x－2)2＋(y－1)2＝6B．(x－2)2＋(y－1)2＝22C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32解析：选C.设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r0)．因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，所以直线AB的方程为4x＋4y＋r2－10＝0，圆心O1到直线AB的距离d＝|r2－14|42，由d2＋22＝6，得（r2－14）232＝2，所以r2－14＝±8，r2＝6或22.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.6．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是________．解析：圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得0a2＋a22＋2，所以0|a|22.所以a∈(－22，0)∪(0，22)．答案：(－22，0)∪(0，22)7．过点A(3，1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是____________．解析：(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x＝3，此时直线l与圆相离，没有公共点，不符合题意．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0.因为直线l和圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于或等于半径，则||－3k＋1k2＋1≤1，计算得0≤k≤3，所以直线l的倾斜角的取值范围是0，π3.答案：0，π38．(2019·唐山模拟)已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．解析：直线l的方程为y－2＝k(x－1)，经过定点P(1，2)，由已知可得圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝8，可知圆心C(0，1)，半径r＝22，由圆的性质可知当直线l与CP垂直时弦长最小，因为|CP|＝（1－0）2＋（2－1）2＝2，故|AB|min＝2（22）2－（2）2＝26.答案：269．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1)．(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．解：(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.又|O1O2|＝（2－0）2＋（1＋1）2＝22，所以r2＝|O1O2|－r1＝22－2.所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－82.(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22，又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r22－8＝0.设线段AB的中点为H，因为r1＝2，所以|O1H|＝r21－|AH|2＝2.又|O1H|＝|4×0＋4×（－1）＋r22－8|42＋42＝|r22－12|42，所以|r22－12|42＝2，解得r22＝4或r22＝20.所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.10．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.由x＝my＋2，y2＝2x可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.又x1＝y212，x2＝y222，故x1x2＝（y1y2）24＝4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1·y2x2＝－44＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝（m2＋2）2＋m2.由于圆M过点P(4，－2)，因此AP→·BP→＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－12.当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为10，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当m＝－12时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为94，－12，圆M的半径为854，圆M的方程为x－942＋y＋122＝8516.[综合题组练]1．(创新型)已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为()A.17或－1B．－1C．1或－1D．1解析：选C.由题意得圆心(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离为22，所以|a－a－1|1＋a2＝22，解得a＝±1，故选C.2．(2019·合肥市第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0，1)，(0，3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k0)关于y轴对称，则k的最小值为()A.233B.3C．23D．43解析：选D.由圆C过点(0，1)，(0，3)知，圆心的纵坐标为1＋32＝2，又圆C与x轴正半轴相切，所以圆的半径为2，则圆心的横坐标x＝22－（3－12）2＝3，即圆心为(3，2)，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝4.因为k0，所以k取最小值时，直线y＝－kx与圆相切，可得2＝|3k＋2|k2＋1，即k2－43k＝0，解得k＝43(k＝0舍去)，故选D.3．(应用型)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1，2)，半径为3.由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为322，由点到直线的距离公式可得|－1－2＋a|2＝322，解得a＝0或a＝6.答案：0或64．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：因为两圆在点A处的切线互相垂直，所以OA⊥O1A，所以|OO1|＝（5）2＋（25）2＝5，故m＝±5，连接AB，交x轴于点C，由对称性知|AB|＝2|AC|＝2×25×55＝4.答案：45．(2019·河北武邑中学4月模拟)已知⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.(1)求⊙H的方程；(2)若存在过点P(a，0)的直线与⊙H相交于M，N两点，且|PM|＝|MN|，求实数a的取值范围．解：(1)设⊙H的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r0)，因为⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交点，易得交点坐标为(2，1)，所以m＝2，n＝1.又⊙H截x轴所得线段的长为2，所以r2＝12＋n2＝2.所以⊙H的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，所以Mx0＋a2，y02.因为M，N两点均在⊙H上，所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2，①x0＋a2－22＋y02－12＝2，即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8，②设⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，由①②知⊙H与⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8有公共点，从而22－2≤|HI|≤22＋2，即2≤（a－2）2＋（1－2）2≤32，整理可得2≤a2－4a＋5≤18，解得2－17≤a≤1或3≤a≤2＋17，所以实数a的取值范围是[2－17，1]∪[3，2＋17]．6.(综合型)如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0，2)，可设圆心的坐标为(m，2)(m0)，则圆C的半径为m，又|MN|＝3，所以m2＝4＋(32)2＝254，解得m＝52，所以圆C的方程为(x－52)2＋(y－2)2＝254.(2)证明：由(1)知M(1，0)，N(4，0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，即kAN＋kBN＝0.当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得，(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝－2tt2＋1y1y2＝－3t2＋1，，则kAN＋kBN＝y1x1－4＋y2x2－4＝y1ty1－3＋y2ty2－3＝2ty1y2－3（y1＋y2）（ty1－3）（ty2－3）＝－6tt2＋1＋6tt2＋1（ty1－3）（ty2－3）＝0.综上可知，kAN＋kBN为定值．