【新高考复习】3 第3讲　变量间的相关关系、统计案例　新题培优练

[基础题组练]1．根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.50.40.1得到的线性回归方程为y^＝b^x＋a^，则()A.a^0，b^0B.a^0，b^0C.a^0，b^0D.a^0，b^0解析：选B.根据给出的数据可发现：整体上y与x呈现负相关，所以b^0，由样本点(3，4.0)及(4，2.5)可知a^0，故选B.2．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为y^＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为()A．66%B．67%C．79%D．84%解析：选D.因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程y^＝0.6x＋1.2，该城市居民人均工资为x＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y^＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25＝84%.3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1B．0C.12D．1解析：选D.所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D.4．(2019·黑龙江哈尔滨模拟)千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：年份(届)2014201520162017学科竞赛获省级一等奖及以上的学生人数x51495557被清华、北大等世界名校录取的学生人数y10396108107根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为1.35，该校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上的学生人数为63，据此模型预测该校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为()A．111B．117C．118D．123解析：选B.因为x－＝53，y－＝103.5，所以a^＝y－－b^x－＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回归直线方程为y^＝1.35x＋31.95.当x＝63时，代入解得y^＝117，故选B.5．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线一线总计愿生452065不愿生132235总计5842100由K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），得K2＝100×（45×22－20×13）265×35×58×42≈9.616.参照下表，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828下列结论正确的是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”解析：选C.因为K2≈9.6166.635，所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.6．经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的回归直线方程：y^＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：x变为x＋1，y^＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．答案：0.2457．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：学生编号12345678数学成绩6065707580859095物理成绩7277808488909395给出散点图如下：根据以上信息，判断下列结论：①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．其中正确的个数为________．解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学的数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.答案：18．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲线y＝bx2－13附近波动．经计算∑6i＝1xi＝11，∑6i＝1yi＝13，∑6i＝1x2i＝21，则实数b的值为________．解析：令t＝x2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y＝bt－13，此时t－＝∑6i＝1x2i6＝72，y－＝∑6i＝1yi6＝136，代入y＝bt－13，得136＝b×72－13，解得b＝57.答案：579．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311.优秀非优秀总计甲班10乙班30总计110(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．参考公式与临界值表：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解：(1)列联表如下：优秀非优秀总计甲班105060乙班203050总计3080110(2)根据列联表中的数据，得到K2＝110×（10×30－20×50）260×50×30×80≈7.48610.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．10．(2019·长沙市统一模拟考试)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：月份123456广告投入量/万元24681012收益/万元14.2120.3131.831.1837.8344.67他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：x－y－i＝16xiyii＝16x2i7301464.24364(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由．(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除；(ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程；(ⅱ)广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线y^＝b^x＋a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^＝∑ni＝1（xi－x－）（yi－y－）∑ni＝1（xi－x－）2＝∑ni＝1xiyi－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2，a^＝y－－b^x－.解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得x－＝15×(7×6－6)＝7.2，y－＝15×(30×6－31.8)＝29.64.i＝15xiyi＝1464.24－6×31.8＝1273.44，i＝15x2i＝364－62＝328.b^＝∑5i＝1xiyi－5x－y－∑5i＝1x2i－5x－2＝1273.44－5×7.2×29.64328－5×7.2×7.2＝206.468.8＝3，a^＝y－－b^x－＝29.64－3×7.2＝8.04.所以y关于x的回归方程为y^＝3x＋8.04.(ⅱ)把x＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得y^＝3×18＋8.04＝62.04，故预报值为62.04万元．[综合题组练]1．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65]支持“延迟退休”的人数155152817(1)由以上统计数据填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率；②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据及公式：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解：(1)列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100因为K2＝100×（35×5－45×15）250×50×80×20＝254＝6.25＞3.841，所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．(2)从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．①抽到1人是45岁以下的概率为68＝34，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为C16C12C28＝37.故所求概率为3734＝47.②X＝0，1，2.P(X＝0)＝C26C28＝1528，P(X＝1)＝C16C12C28＝1228＝37，P(X＝2)＝C22C28＝128.可得随机变量X的分布列为X012P152837128故E(X)＝1×37＋2×128＝12.2．(2019·洛阳第一次联考)随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司6个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份(即x＝7时)的市场占有率．(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆使用年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用年限频数表如下：使用年限车型1年2年3年4年总计A20353510100B10304020100经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用年限都是整数，且以频率作为每辆单车使用年限的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑ni＝1xiyi－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2，a^＝y－－b^x－.解：(1)由数据计