2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2.2 第1课时　单调性与最大(小)值

大一轮复习讲义第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.了解函数奇偶性的含义.3.结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义.考试要求主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练内容索引ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，叫做y＝f(x)的单调区间.增函数减函数区间D2.函数的最值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得_______(1)对于任意的x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得_________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M3.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数关于对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数关于对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点4.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，非零常数T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正数微思考1.函数y＝f(x)满足∀x1，x2∈D，x1≠x2，0(0)，能否判断f(x)在区间D上的单调性？提示能，0(0)⇔f(x)在D上单调递增(单调递减).fx1－fx2x1－x2fx1－fx2x1－x22.奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的？提示奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(2)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.()(3)若y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数y＝kf(x)(k0)，y＝在区间D上单调递减.()(4)若函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于x＝2对称.()基础自测×√××1x1fx题组二教材改编2.下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是A.f(x)＝x－1B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝2x－2－xD.f(x)＝2x＋2－x√解析f(x)＝x－1为非奇非偶函数，f(x)＝x2＋x为非奇非偶函数，f(x)＝2x＋2－x为偶函数.3.函数y＝在区间[2,3]上的最大值是________.xx－12解析函数y＝xx－1＝1＋1x－1在[2,3]上为减函数，当x＝2时，y＝xx－1取得最大值22－1＝2.4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为______________.(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0x2时，f(x)0；当2x≤5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，∴当－2x0时，f(x)0，当－5≤x－2时，f(x)0.综上，f(x)0的解集为(－2,0)∪(2,5].题组三易错自纠5.函数f(x)＝(x＋1)是___________函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)x－1x＋1非奇非偶解析f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)不关于原点对称.故f(x)为非奇非偶函数.6.函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)f(2a)，则实数a的取值范围是________.[－1,1)解析由条件知－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋12a，解得－1≤a1.TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究命题点1求具体函数的单调区间例1(1)函数y＝的单调增区间为A.12，3B.－2，12C.(－2,3)D.12，＋∞212log(6)xx√第1课时单调性与最大(小)值题型一确定函数的单调性利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2,3)上的单调递减区间为12，3，故选A.解析由－x2＋x＋60，得－2x3，故函数的定义域为(－2,3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝，易知其为减函数，12logt由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2,3)上的单调递减区间.1，x0，0，x＝0，－1，x0，(2)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是______.[0,1)解析由题意知g(x)＝x2，x1，0，x＝1，－x2，x1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1).命题点2判断或证明函数的单调性例2试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性.axx－1解方法一设－1x1x21，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝ax2－x1x1－1x2－1，由于－1x1x21，所以x2－x10，x1－10，x2－10，故当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增.＝ax－1－axx－12＝－ax－12.当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增.方法二f′(x)＝ax′x－1－axx－1′x－12确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断.(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.思维升华跟踪训练1(1)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是_______.[1,2]解析f(x)＝x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x2.画出f(x)的大致图象(如图所示)，由图知f(x)的单调递减区间是[1,2].(2)已知a0，函数f(x)＝x＋ax(x0)，证明：函数f(x)在(0，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增.证明方法一(定义法)设x1x20，f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2－ax2＝(x1－x2)＋ax2－x1x1x2＝x1－x2x1x2－ax1x2，∵x1x20，∴x1－x20，x1x20，当x1，x2∈(0，a]时，0x1x2a，∴x1x2－a0，∴f(x)在(0，a]上单调递减；∴f(x1)－f(x2)0，f(x1)f(x2)，当x1，x2∈[a，＋∞)时，x1x2a，∴x1x2－a0，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在[a，＋∞)上单调递增.方法二(导数法)f′(x)＝1－ax2＝x2－ax2(x0)，令f′(x)0⇒x2－a0⇒xa，令f′(x)0⇒x2－a0⇒0xa，∴f(x)在(0，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增.命题点1比较函数值的大小例3(1)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则题型二函数单调性的应用多维探究A.flog314B.flog314C.flog314D.flog314322f232f322f232f322f232f322f232f√解析f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，flog314＝f(－log34)＝f(log34)，又log341,01，322232∴f(log34)，322f232f即flog314.322f232f(2)(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则A.a2bB.a2bC.ab2D.ab2√解析由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵22b＋log2b22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，∴2a＋log2a22b＋log22b，即f(a)f(2b)，∴a2b.[高考改编题]已知2a＋log2a4b＋2log4b＋1，则A.a2bB.a2bC.ab2D.ab2解析4b＋2log4b＋1＝22b＋＋1＝22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，∴2a＋log2a22b＋log22b，∵函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上为增函数，∴a2b.√222logb命题点2求函数的最值例4(2021·深圳模拟)函数y＝的最大值为________.x2＋4x2＋525解析令x2＋4＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝tt2＋1＝1t＋1t，设h(t)＝t＋1t，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤152＝25(x＝0时取等号).即y的最大值为25.命题点3解函数不等式例5已知函数f(x)＝－log2(x＋2)，若f(a－2)3，则a的取值范围是______.13x解析由f(x)＝13x－log2(x＋2)知，(0,1)f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，由f(a－2)3，得f(a－2)f(－1)，即－2a－2－1，即0a1.命题点4求参数的取值范围例6如果函数f(x)＝2－ax＋1，x1，ax，x≥1满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，那么实数a的取值范围是A.(0,2)B.(1,2)C.(1，＋∞)D.32，2√所以y＝f(x)在R上是增函数.解析因为对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20，所以2－a0，a1，2－a×1＋1≤a，解得32≤a2.故实数a的取值范围是32，2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.(2)求最值.(3)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.(4)利用单调性求参数.①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较.思维升华②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函